Campo gravitatorio (Parte II)

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Saludos cordiales estimada comunidad científica de @steemstem y steem- espanol, con un poco de tiempo y mucha motivación me dispongo el día de hoy a continuar con el tema de Campo gravitatorio. En el post anterior he dejado claro como el concepto de gravedad ha ido evolucionando con la observación, intuición, genialidad y hasta imaginación de grandes personalidades de la física que junto con sus resultados han revolucionado nuestra ciencia redirigiendola por un camino progresivo y contundente. En resumen acordamos definir la gravedad desde la perspectiva de Newton como una fuerza de atracción que poseen los cuerpos por el hecho de tener masa, desde cúmulos discretos de partículas hasta composiciones de gran cantidad de materia homogéneos y heterogéneos como planetas, estrellas y galaxias, la gravedad es una magnitud que se extiende por el basto universo dominando la dinámica de los cuerpos.

Ahora por la naturaleza de esta fuerza, que actúa a distancia alterando las propiedades del espacio, se introduce el concepto de Campo gravitatorio, esto se puede entender como una extensión espacial donde en cada punto existe un valor correspondiente a la magnitud de la gravedad, siendo esta cuantificable por medio de la intensidad del campo gravitatorio y el potencial del campo, ambas expresiones dan una información cuantitativa de este fenómeno, por lo que pasamos a definir los siguientes conceptos:

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Intensidad del campo gravitatorio

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Es el vector de campo gravitatorio denotado por , el cual representa la fuerza por unidad de masa de una partícula en un punto del campo, creado por la presencia de un cuerpo de masa , y expresado como sigue:

(1)

Como observamos los elementos de la ecuación (1) son conocidos, sin embargo recordemos que es la constante de gravitación universal con valor de [1], y es la distancia que existe entre M y el punto a considerar en el campo con vector unitario . Queda claro que la intensidad del campo según (1) es directamente proporcional a la masa que lo genera, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la masa generadora del campo y el punto en cuestión, actuando en la dirección radial con sentido hacia a M [2]. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:

Figura 1: Campo gravitacional en m, dado a un cuerpo M

Note que la intensidad del campo no depende de las masas testigo a las cuales puede afectar, y esto es realmente interesante, ya que al evaluar las unidades de obtenemos como resultado , es decir, la intensidad no es mas que la aceleración de la gravedad en un punto y dado a este valor es posible conocer la fuerza gravitacional sobre un cuerpo situado en ese punto, ya que de la ecuación (1) es fácil obtener , lo que aporta la información necesaria para escribir la ecuación del movimiento y en consecuencia conocer la trayectoria del cuerpo al resolver dicha ecuación, por lo que en síntesis con se puede describir la dinámica de la interacción gravitatoria.

Como ya lo demostramos en el post anterior, la utilizada en (1) es aplicable para cuerpos de simetría esférica, por lo tanto también aplica para estos casos, analogo a la fuerza el campo para cuerpos con distribución de materia con forma arbitraria se considera:

(2)

Y para sistema discretos tomamos el principio de superposición, es decir la suma vectorial de las contribuciones de los distintos campos creados por las partículas sobre un punto [3], como se ilustra en la siguiente figura.

Figura 2: Campo en punto, dado a un sistema discreto de partículas
con

Ya sabemos que el campo en punto exterior a cuerpo de forma esférica esta dado por (1), entonces nos interesa conocer esta magnitud dentro de la esfera sólida, para ello es necesario utilizar (2), y evaluarla en punto P , como se muestra en la siguiente imagen.

Figura 3: Vista bidimensional de una esfera sólida

Para hallar en campo en el punto mostrado, hay que considerar las contribuciones de la materia de a , la distancia a la cual se ubica P, y de a el radio de la esfera como tal, con las herramientas matemáticas adecuadas como el diferencial de volumen en coordenadas esféricas y las relaciones trigonométricas podemos llegar a la siguiente expresión [4]:

(3)

De (3) deducimos una relación lineal entre el campo y la distancia , ya que los otros elementos son constante y se traduce en todo caso en la pendiente de la recta, esto se puede apreciar mejor en la siguiente gráfica

Figura 4: Gráfica de Vs , para una esfera sólida y homogénea

De la gráfica anterior, se puede observar la variación del campo con respecto a la distancia radial, dentro y fuera de una esfera sólida, es evidente la relación lineal que existe desde el centro hasta la superficie, alcanzando así su máximo y a partir de allí cae de forma racional, dicho comportamiento es completamente lógico ya que es en la superficie de la esfera donde se tiene la masa total del cuerpo atrayendo partículas hacia él, luego la intensidad comienza a disminuir también con el alcance del campo, por ello otro elemento que hay que considerar son las lineas de fuerza del campo. Como ya mencionamos, la intensidad es una magnitud vectorial, que indica el sentido y el valor en un punto. Una forma de representar al campo es a través de las lineas de fuerza, las cuales se dibujan tangente al vector de intensidad, y parte desde regiones externas hasta converger en el objeto o sistema que lo producen.

Figura 5: Representación de las lineas de fuerza del campo gravitatorio de la tierra

Hay que recordar que las lineas de fuerza se utilizan para representaciones gráficas, pues carecen de sentido físico, así como se utilizan para describir los campos magnéticos.

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Campo gravitatorio terrestre

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Ahora aplicando el razonamiento de la esfera a nuestro planeta tierra, considerándola como un cuerpo homogéneo tenemos:

El valor anterior corresponde a la intensidad del campo en la superficie de la tierra, por el cual se maneja la dinámica de las objetos que en ella se desarrollan, y aunque la dirección es radial, esta se pueden considerar lineas verticales y paralelas en áreas pequeñas con respecto al radio de la tierra, por lo que se toma como un campo constante o uniforme .

En este punto hay que diferenciar entre la intensidad del campo y la aceleración de la gravedad, en detalle la primera indica por definición la fuerza por kilogramo con la que la tierra atrae los objetos, mientras que la aceleración es la variación de la velocidad con la cual caen los objetos en un punto del campo sin importar su masa, es decir, en ultimas los objetos caen con la misma aceleración pero son atraídos con diferente fuerza [5].

Todos o al menos la mayoría sabemos que nuestro planeta no es un cuerpo homogéneo y que tampoco posee una forma esférica, y por esta razones es obvio que la gravedad no es la misma en todos los puntos de la tierra, y eso despreciando las variaciones de altura que existen en toda la extensión de la superficie.

Por otro lado esta el movimiento rotacional, causante de la fuerza centrifuga que experimenta la tierra y que también influye en la gravedad, cambiando la dirección y magnitud de esta. Recordemos que la fuerza centrifuga son fuerzas "ficticias" que aparecen en sistemas de referencia no inerciales o acelerados como lo es nuestro planeta tierra.

Entonces con unos polos achatados donde la distancia desde es el centro menor que en la mitad del planeta, y con una fuerza centrifuga cuyo máximo efecto se da en la latitud (ver figura 6), la variación de la gravedad se da con mayor intensidad en los polos con y disminuye a medida que nos acercamos al ecuador hasta [6] .

Figura 6: Latitudes del hemisferio norte

Para ser mas técnicos a dicha variación gravitatoria con respecto a la latitud se le conoce gravedad efectiva obtenida por la siguiente expresión:

con :

: la velocidad angular de la tierra.
: Radio promedio de la tierra.
: latitud
y : vectores unitarios del sistema de referencia para el objeto estudiado.
[7]

El otro parámetro ya mencionado es la composición material de nuestro planeta, las diferentes densidades de la corteza influye mucho como un anomalía en la distribución del campo, para la apreciación de estas variaciones se toman mediciones a través de satélites que orbitan la tierra los cuales son muy sensibles a esta magnitud, de manera que reúnen una gran cantidad de datos para construir mapas computacionales, que detallan una distribución mas real del campo gravitatorio [8]

Figura 7: Mapa del campo gravitacional terrestre

La imagen anterior corresponde a los resultados mostrados por los satelites GRACE para el campo gravitatorio terrestre, donde muestra las anomalías de nuestro campo, es fácil de interpretar la distribución por medio de los colores, las zonas azul oscuro indica puntos o mejor dicho áreas con valores mínimos del campo y las zonas de color rojos representa los valores máximos del campo gravitatorio mientras que el naranja es mas cercano al valor ya conocido.

Como vera son muchas los parámetros y variables que define el comportamiento real del campo gravitatorio y los efectos que este produce aunque ya son bastante conocidos, siguen siendo analizados por medio de teorías y experimentación que arrojen luz sobre nuevos detalles acerca de esta fenomenal magnitud.

Aun falta definir el potencial del campo y describir otros efectos interesantes de la gravitación, espero continuar y culminar pronto este tema así como también causar curiosidad por la información aquí expuesta, sin mas expresar los invito hacer preguntas y también realizar sugerencias o criticas constructivas que me ayuden a mejorar mi presentación.

Gracias a todos por su atención