20-06-2026 - Formulas - The Mathematical Definition of Derivative [EN]-[IT]

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~~~ La versione in italiano inizia subito dopo la versione in inglese ~~~

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[ENGLISH]
20-06-2026 - Formulas - The mathematical definition of derivative [EN]-[IT]

With this post, I would like to provide some brief information on the topic in question.
The context in which we operate is that of Mathematical Analysis
(code notes: MOD-XX)

The mathematical definition of derivative
Let's consider what is written below.

In this formula we have:
f(x) = value of the function at a point x
f(x+h) = value of the function at a point slightly further ahead, i.e., at x+h
h = displacement on the axis x
f(x+h)-f(x) = vertical variation of the function
(f(x+h)-f(x))/h = we make h smaller and smaller, until it approaches 0

Let's focus on the following ratio:

This calculates the slope of the secant line connecting the two points.
If we continually reduce the distance h, the second point gets closer to the first, and the secant line tends to become the tangent line.
The final value of the slope is the derivative f'(x)

Example
Take the following derivative, for example:

This is the derivative of the function f(x) = x^2

What are derivatives used for?
Derivatives allow us to answer questions like:
-How much is the cost increasing?
-How rapidly does a vehicle accelerate?
-At what point is the profit maximum?
-How sensitive is an investment to a change in the market?

This is why they are fundamental in physics, engineering, industry, economics, finance, computer science, medicine, and the natural sciences.

Conclusions
In mathematics, the derivative is what allows us to study the instantaneous change in a quantity.

Question
Do you remember doing derivatives in school?

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[ITALIAN]
20-06-2026 - Formulas - La definizione matematica di derivata [EN]-[IT]

Con questo post vorrei fornire alcune brevi nozioni a riguardo dell’argomento citato in oggetto.
Il contesto in cui operiamo è quello della Analisi Matematica
(code notes: MOD-XX)

La definizione matematica di derivata
Prendiamo in considerazione quanto scritto sotto

In questa formula abbiamo che:
f(x) = valore della funzione in un punto x
f(x+h) = valore della funzione in un punto poco più avanti, cioè in x+h
h = spostamento sull'asse x
f(x+h)-f(x) = variazione verticale della funzione
(f(x+h)-f(x))/h = facciamo diventare h sempre più piccolo, fino ad avvicinarlo a 0

Concentriamoci sul seguente rapporto:

Questo calcola la pendenza della retta secante che unisce i due punti.
Se riduciamo sempre di più la distanza h. Il secondo punto si avvicina al primo e la retta secante tende a diventare la retta tangente.
Il valore finale della pendenza è la derivata f'(x)

Esempio
Prendiamo per esempio la derivata seguente:

Questa è la derivata della funzione f(x) = x^2

A cosa servono le derivate
Le derivate permettono di rispondere a domande come:
-Quanto sta aumentando il costo?
-Quanto rapidamente accelera un veicolo?
-In quale punto il profitto è massimo?
-Quanto è sensibile un investimento a una variazione del mercato?
Per questo sono fondamentali in fisica, ingegneria, industria, economia, finanza, informatica, medicina e scienze naturali.

Conclusioni
In matematica, ciò che consente di studiare il cambiamento istantaneo di una grandezza è proprio la derivata.

Domanda
Vi ricordate di aver fatto le derivate a scuola?

THE END