Sistemas de Numeración | Serie Computación y Programación #4

Saludos queridos asiduos lectores de mi blog, bienvenidos. Este post es la cuarta entrega de la serie Computación y Programación, en el seguiremos tratando el tema de los sistemas de numeración y su representación numérica en las diferentes bases. En esta oportunidad mostraremos como formar los números en las bases: octal, hexadecimal y binaria. Estos temas son parte de un curso de Programación y diseño de algoritmos.

La Serie Computación y Programación en su primera edición, consiste en una entrega diaria, donde hablaremos de un tema, en la misma abordaremos los aspectos teóricos, describiremos algunos ejemplos con el objetivo de visualizar y explicar como aplicar lo tratado durante la publicación. La misma está dirigida al público en general, pero con especial atención a estudiantes universitarios, que deseen estudiar o estudien computación, ingeniería en computación y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Construcción de números en diferentes bases

Como ya en anteriores post mostramos la Tabla de equivalencias de algunos números en las bases: binaria, octal, hexadecimal y decimal, para ser más específicos los primeros 15 números. Entonces surge la siguiente pregunta natural:

¿como se forman números consecutivos mayores que el representado por su mayor símbolo individual?

Si tomamos el sistema de representación numérica decimal, el número más grande que se puede formar, con un solo dígito, es nueve. Si queremos representar números mayores que nueve entonces se utiliza más de un dígito, como podemos ver a continuación:

Como podemos apreciar, una vez escritos todos los dígitos simples, se forman todas las combinaciones de dos dígitos comenzando con 1, luego se forman las combinaciones de dos dígitos comenzando con 2 y así sucesivamente hasta llegar al 99. Posteriormente una vez terminadas todas las posibles combinaciones de dos dígitos se procede a formar las combinaciones que tienen tres dígitos; luego se continúa con todas las combinaciones de cuatro dígitos y así sucesivamente.

Este proceso se puede continuar por siempre y se puede aplicar de manera similar a otros sistemas numéricos.

Ahora bien, si queremos formar números mayores que 7 en el sistema octal se utiliza la regla de formación similar a la que se uso en la Tabla (la cual hemos mostrado anteriormente) siguiente:

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Ejemplo 01: En el sistema hexadecimal, ¿cómo se forman los números mayores que F?

Para formar números mayores que F, la manera de realizarlo es similar a la que presentamos o la manera natural de realizarlo con el sistema decimal, recordando que los símbolos de la base hexadecimal, son:

Así, entonces podemos formar los números mayores que F, como los mostramos a continuación:


y podemos continuar infinitamente, al igual que en el caso de la base decimal.

Observemos que, primero escribimos la secuencias de todos los dígitos simples, luego se forma todas las combinaciones posibles con dos dígitos simples, comenzando con 10 y terminando con el dígito FF. Así, cuando se agotan las secuencias de dos dígitos, se forman las combinaciones de tres dígitos, que empiezan con 100 y terminan con FFF. Este proceso se repite con todas las combinaciones de cuatro dígitos y así sucesivamente, indefinidamente.

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Ejemplo 02: En el sistema octal, ¿cómo se forman los números mayores que 8?

De manera similar que el ejemplo anterior, formaremos los números mayores que 8 en la base octal, como lo vemos a continuación:

y podemos continuar infinitamente, al igual que en el caso de la base decimal y hexadecimal.

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de este cuarto post de la serie de Computación y Programación, de igual manera los invito para la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos tratando este tan bonito tema de los sistemas de numeración y otros aspectos. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y la computación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Knuth, Donald Ervin. The art of computer programming. Vol. 1, 2, y 3. Pearson Education, 1997.
• Knuth, Donald Ervin. Fundamental algorithms: the art of computer programming. 1973.
• Knuth, Donald Ervin. Computer programming as an art. ACM Turing award lectures. ACM, 2007.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Computación y Programación, que estoy seguro serán de su interés:

Sistemas de Numeración #1	Sistemas de Numeración #2	Sistemas de Numeración #3

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Todas las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con , y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}