量子力学中的算符

提问：给我讲讲量子力学中的算符，据我所知，它是一个矩阵，可以对向量进行变换。一般来说，算符是用来从态矢量中读取表象信息的，比如单个电子在空间上的概率分布。这种情况下算符并不改变量子态，对吗？同时算符是不是还可以改变量子态？

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非常棒的问题！你触及了量子力学中一个非常核心且初学者容易混淆的概念。我们来一步步拆解，并用尽量直观的方式来解释。

首先，你的理解有很大一部分是正确的，并且已经有了很好的直觉。我们来深化和澄清一下。

1. 算符是什么？

你的理解“它是一个矩阵，可以对向量进行变换”在数学上是完全正确的，并且是理解算符的绝佳起点。

• 数学上：在量子力学的数学框架（通常是希尔伯特空间）里，态矢量（或称波函数）就像你熟悉的向量。算符就是作用在这些向量上的“函数”或“规则”，它能将一个态矢量变换成另一个态矢量。用矩阵来类比非常贴切：一个矩阵乘以一个向量，得到一个新的向量。
• 物理上：算符代表了我们在量子系统上可以进行的某种操作或询问的某个物理问题。这是它更深刻的物理含义。

2. 算符的两个核心作用（回答你的问题）

你的困惑——“是否改变量子态”——正是关键所在。答案是：取决于场景。算符主要扮演两种角色，对应两种不同的数学和物理过程：

作用一：作为“可观测量的数学表示”——用于“读取”信息（通常不改变态）

这是你提到的“读取表象信息”的情况。在这里，算符代表一个物理可观测量，比如：

• 位置算符 (\hat{x})
• 动量算符 (\hat{p})
• 能量算符（哈密顿算符） (\hat{H})
• 自旋算符 (\hat{S}_z)

这个过程中，我们是怎么“读取”信息的？

1. 本征态与本征值：每个可观测量算符都有一组“特权”的态矢量，称为本征态。当系统处于某个本征态时，对这个物理量进行测量，会得到一个确定的结果，称为本征值。
   • 例如，位置算符的本征态是“粒子处于某个确切位置x₀”，其本征值就是x₀。
   • 能量算符（哈密顿量）的本征态就是具有确定能量的态，比如原子中的电子能级。
2. 测量公设与概率：当系统处于一个任意态（通常是多个本征态的叠加）时，我们用它来描述测量：
   • 将这个任意态“投影”到算符的各个本征态上。
   • 投影系数（的模平方）就给出了测量得到各个本征值的概率。
   • 在这个过程中，我们只是在用数学计算概率，并没有改变态本身。 这对应了你说的“不改变量子态”的理解。

但是，这里有一个至关重要的转折：实际的物理测量过程会改变态！

• 当你真的去做一次测量时，根据量子力学的基本假设（测量坍缩），系统会从原来的叠加态，随机地坍缩到其中一个本征态上，而你读到的结果就是对应的本征值。
• 所以，严格来说：
  • 算符本身作为数学对象，在用于计算某个可观测量的概率分布时，不改变态。
  • 但物理测量这个动作，会导致量子态的突变（坍缩）。我们是用算符这个数学工具来预言测量结果和坍缩的概率。

作用二：作为“动力学演化或操作的数学表示”——用于“改变”态

这是算符改变量子态的明确情况。在这里，算符代表一种确定性的、非测量的物理过程。

1. 时间演化：系统如何随着时间自然地变化？由哈密顿算符 (\hat{H})（代表系统总能量）通过薛定谔方程决定：
   [ i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle ]
   这个方程的解可以写成 (|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t) |\psi(0)\rangle)，其中 (\hat{U}(t)) 是一个时间演化算符。它明确地、确定性地将初始态矢量 (|\psi(0)\rangle) 变换成了新的态矢量 (|\psi(t)\rangle)。这是一个连续、平滑的改变。

2. 对称操作与变换：

   • 将系统在空间中旋转一个角度。
   • 将系统在时间上平移（即上述的时间演化）。
   • 将粒子置换（交换两个全同粒子）。
     这些操作也都用特定的算符（如旋转算符、平移算符）来表示，它们作用在态上，会产生一个新的态。

这类算符有一个非常重要的数学性质：它们通常是幺正算符。 幺正算符保证变换前后态矢量的“长度”（总概率）保持不变，就像在三维空间中旋转一个矢量不会改变它的长度一样。这是一种保持信息的、确定性的改变。

总结与比喻

为了帮你理清，我们可以打个比方：

• 量子态：就像一份机密文件。
• 可观测量算符（如位置算符）：就像针对这份文件的一套标准化问题（例如：“你的经纬度是多少？”）。
  • 本征态：就是那些能用确切数字直接回答这个问题的文件（如“北纬39.9°，东经116.4°”）。
  • 对一般态的测量：就像问一个复杂文件这个问题。文件本身（叠加态）无法直接回答，但规则（算符）允许你计算出它回答“北京”或“巴黎”的概率。而一旦你强行提问（测量），文件就会立刻自我修改，只留下一个确切的答案。
• 演化算符（如时间演化算符）：就像让时间流逝的规则，或者一位被授权修改文件的秘书。它根据确定的规则（薛定谔方程）重写文件内容，使其从“今日计划”变成“明日计划”。这个过程是平滑、确定的。

所以，回到你的问题：

1. “一般来说，算符是用来从态矢量中读取表象信息的”：对，这是它的核心用途之一（作为可观测量的代表）。
2. “这种情况下算符并不改变量子态，对吗？”：对，但需要小心。作为数学工具计算概率时，不改变态。但关联的物理测量行为会改变态。
3. “同时算符是不是还可以改变量子态？”：完全可以，而且是另一种非常重要的用途。当算符代表时间演化或其他对称操作时，它正是用来确定性地、幺正地改变量子态的。

希望这个解释能帮助你建立起对算符更清晰、更完整的图像。量子力学的魅力正在于，同一个数学对象（算符），在不同的物理语境下，扮演着如此不同而又深刻的角色。

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再讲讲什么幺正性，幺正性为什么能推导信息守恒？

幺正性与信息守恒

我们来深入探讨幺正性这个重要概念，以及它如何保证信息守恒。

一、什么是幺正性？

数学定义

一个算符 U 是幺正的，当且仅当：
[
U^\dagger U = U U^\dagger = I
]
其中：

• (U^\dagger) 是 U 的厄米共轭（转置再取复共轭）
• I 是单位算符

这意味着幺正算符的逆就是它的厄米共轭：(U^{-1} = U^\dagger)

物理意义

幺正算符在量子力学中代表保持概率的变换。就像经典力学中旋转操作保持矢量长度不变，幺正变换保持量子态的"长度"（归一化）和"夹角"（相对相位）。

二、幺正性的关键性质

1. 保持内积（保持概率幅）

对任意两个态 (|\psi\rangle) 和 (|\phi\rangle)：
[
\langle\psi|U^\dagger U|\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle
]
这意味着：

• 变换前后两态的重叠概率不变
• 特别地，归一化态保持归一化：(\langle\psi|\psi\rangle = 1 \Rightarrow \langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle = 1)

2. 保持正交性

如果 (\langle\psi|\phi\rangle = 0)（两态正交），则 (\langle\psi|U^\dagger U|\phi\rangle = 0)

• 正交态变换后仍然正交
• 这意味着算符不会将可区分的态变得不可区分

3. 可逆性

由于 (U^{-1} = U^\dagger) 存在，任何幺正变换都是完全可逆的：
[
|\psi'\rangle = U|\psi\rangle \quad \Rightarrow \quad |\psi\rangle = U^\dagger|\psi'\rangle
]

• 从结果可以唯一地恢复初始状态
• 没有信息丢失在变换过程中

三、为什么幺正性推导出信息守恒？

1. 信息守恒的物理含义

在量子力学中，"信息守恒"意味着：

• 演化过程可逆：可以从末态完全确定初态
• 没有信息丢失到系统之外
• 不同的初始态保持可区分

2. 幺正性如何保证这些？

(1) 保持区分度
假设有两个不同的初始态 (|\psi_1\rangle) 和 (|\psi_2\rangle)，它们的"距离"可以用内积的模方 (|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2) 衡量。

幺正变换后：
[
|\langle\psi_1|U^\dagger U|\psi_2\rangle|^2 = |\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2
]

• 如果两个态最初是可区分的（内积小），变换后仍然可区分
• 这防止了"信息擦除"——不同态不会合并成一个态

(2) 保持相空间体积（刘维尔定理的量子版本）
在经典力学中，刘维尔定理说相空间体积在哈密顿演化下不变。量子力学的幺正演化是类似的：

• 一组正交基 ({|e_i\rangle}) 经过幺正变换后 ({U|e_i\rangle}) 仍然是正交基
• 希尔伯特空间的"体积"（由基矢张成）保持不变

(3) 纯态保持为纯态
一个纯态（可用单一态矢量描述）经过幺正变换后仍然是纯态。

对比非幺正过程（如测量坍缩）：

• 测量：纯态 → 混合态（概率性结果）
• 幺正演化：纯态 → 纯态（确定性变换）

四、幺正演化的具体例子

1. 时间演化

对于封闭系统，时间演化算符 (U(t) = e^{-iHt/\hbar}) 是幺正的（前提是 H 是厄米算符）。

为什么？因为：
[
U^\dagger(t) = e^{iH^\dagger t/\hbar} = e^{iH t/\hbar} = U(-t) = U^{-1}(t)
]
这保证了：

• 概率守恒：系统总概率保持为1
• 信息守恒：演化完全可逆

2. 量子门操作

在量子计算中，所有允许的量子门都是幺正算符：

• 哈达玛门：(H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\1 & -1\end{pmatrix})
  [
  H^\dagger H = I
  ]
• CNOT门、相位门等也都是幺正的

五、与非幺正过程的对比

为了更好地理解幺正性，看看违反幺正性的情况：

1. 测量坍缩

投影测量算符 P 一般不是幺正的：
[
P^2 = P \quad (\text{幂等性}), \quad \text{但} \quad P^\dagger P \neq I
]
测量后：

• 信息丢失（无法从结果态恢复原来的叠加态）
• 不可逆

2. 耗散过程

开放系统与环境的相互作用：

• 描述为量子信道时，通常用完全正定映射，不一定是幺正的
• 可能导致退相干，信息流失到环境中

3. 时间反演对称性

有趣的是：真正的幺正演化是时间反演对称的。
如果 (|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle)，那么：
[
|\psi(0)\rangle = U^\dagger(t)|\psi(t)\rangle = U(-t)|\psi(t)\rangle
]
物理上，这需要把速度反向、磁场反向等。

六、深层次理解：量子信息视角

从量子信息的角度看，幺正性更清晰地体现了信息守恒：

1. 量子不可克隆定理的基础

该定理说：不存在一个幺正算符 U 能够实现 (U|\psi\rangle|0\rangle = |\psi\rangle|\psi\rangle) 对所有 (|\psi\rangle) 成立。

为什么？因为如果存在这样的幺正 U，考虑两个正交态 (|\psi\rangle) 和 (|\phi\rangle)：
[
U|\psi\rangle|0\rangle = |\psi\rangle|\psi\rangle,\quad U|\phi\rangle|0\rangle = |\phi\rangle|\phi\rangle
]
计算内积：
[
\langle\psi|\langle 0|U^\dagger U|\phi\rangle|0\rangle = \langle\psi|\phi\rangle\langle 0|0\rangle = \langle\psi|\phi\rangle
]
但右边：
[
\langle\psi|\langle\psi|\phi\rangle|\phi\rangle = (\langle\psi|\phi\rangle)^2
]
因此 (\langle\psi|\phi\rangle = (\langle\psi|\phi\rangle)^2)，这只在 (\langle\psi|\phi\rangle = 0) 或 1 时成立。所以无法克隆任意态——这是幺正性直接导致的结果。

2. 量子纠错码的存在性

量子纠错之所以可能，正是因为幺正演化保持了信息的完整性。错误可以看作是幺正演化的一部分，通过巧妙的编码可以检测和纠正。

七、一个直观的几何图像

把希尔伯特空间想象成一个高维球面（布洛赫球是单量子比特的特例）：

• 态矢量是球面上的点
• 幺正变换是球面上的旋转
• 旋转不会改变：
  • 点到球心的距离（归一化）
  • 两点间的角度（相对相位）
  • 球面的形状

而非幺正过程（如测量）会把点"拍扁"到某个轴上，丢失了角向信息。

总结

幺正性保证了量子演化的：

1. 可逆性 - 没有信息丢失
2. 确定性 - 纯态到纯态
3. 概率守恒 - 总概率保持为1
4. 区分度保持 - 不同的态不会变得不可区分

这正是量子力学中"信息守恒"的数学表述。在封闭系统中，薛定谔方程给出的演化自动是幺正的；当我们考虑测量或开放系统时，幺正性被破坏，信息可能丢失或流入环境。

理解幺正性对于掌握量子计算、量子信息乃至量子力学基础都至关重要——它是量子世界保持"清爽"、保持"完整性"的数学保证。