Sistemas de Numeración | Serie Computación y Programación #1

Saludos queridos asiduos lectores de mi blog, bienvenidos. En esta oportunidad vengo a hablarles de un tema que además de importante es sumamente interesantes. Forma parte de cualquier curso de Programación y diseño de algoritmos. Este punto es lo primordial que debe saber, aprender y dominar cualquier estudiante que desee estudiar computación, o ingeniería en computación. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo. En el mismo empezaremos con la definición de dos importantes conceptos que debemos tener claros antes de poder iniciar, haremos un pequeño recuento histórico y entraremos luego en el tema que queremos iniciar. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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¿Qué es la Programación?

La programación de computadoras (a menudo abreviado como programación o codificación) es el proceso de diseñar escribir, probar, depurar y mantener el código fuente de los programas de computadoras. Este código fuente está escrito en uno o más lenguajes de programación.

El propósito de la programación es crear un conjunto de instrucciones que utilizan los computadores para realizar operaciones específicas o para exhibir comportamientos deseados.

¿Qué es un Algoritmo?

En matemáticas y ciencias de la computación, un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus, arithmos, que significa número, introducción de este término, gracias al matemático Abu Abdallah Muhammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yāffar), mejor conocido como Al-Juarismi) es un procedimiento paso a paso para calcular algo, procesar datos y realizar un razonamiento automatizado.

Más precisamente, un algoritmo es un método eficaz expresado como una lista finita de instrucciones bien definidas para el cálculo de una tarea.

Los inicios de la computadora

Podemos comenzar, diciendo que el primero instrumento que se conoce, y que fue con el que se dieron los primeros pasos para la construcción de un computador, es el ábaco, el cual data aproximadamente de los años 2.500 antes de Cristo, es una herramienta diseñada para contar y realizar operaciones aritméticas sencillas, es decir, sumar y restar números naturales.

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Luego, ya alrededor del año 1600, el matemático y físico Escocés John Napier diseño un instrumento que llamaron los Huesos de Napier, el cual era un dispositivo similar a un ábaco, pero que era usado para multiplicar y dividir, operaciones que con el simple ábaco no se podían realizar directamente. Es bueno recordar que Jonh Napier, es el matemático que por primera vez expreso los logaritmos, y además uso por primera vez el punto decimal, en las operaciones aritméticas.

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Siguiendo nuestro paso por la historia, nos conseguimos al famoso matemático Francés Blaise Pascal, quien alrededor del año 1642, y después de varios intentos y años de trabajo de ensayo y error, inventó la primera calculadora mecánica. A la que después de varias versiones o prototipos se le denomino la Pascalina.

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Pocos años después, el eminente matemático Alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, alrededor del año 1672, construyó e inventó la The Stepped Reckoner o La Calculadora Pausada. Donde Leibniz una vez dijo:

“Es indigno de los hombres excelentes perder horas como esclavos en el trabajo del cálculo que podían ser relegados sin peligro a alguien más si las máquinas fueran usadas.”

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Así, podemos continuar nuestra lista, pasado por El Telar de Jacquard (1810), La Maquina de Diferencia (1822), La Maquina Analítica (1833), La Maquina Tabuladora de Hollerith (1880), La Maquina de Turing (1936), hasta llegar a la era moderna cuando IBM en 1953, estrena su IBM 650, la primera computadora industrial. En todo ese lapso de tiempo hay muchos más que aunque no los nombremos, no quiere decir que dieron su aporte, al contrario, todos estos fueron importantes en el desarrollo de las computadoras hasta el día de hoy. Gracias a todos esos inventos, podemos disfrutar de súper computadores, que por momento, parecían imposibles de imaginar tenerlos, y ahora podemos programar, jugar, escribir, navegar en internet, diseñar, y nos permite poder compartir en esta grandiosa red de contenido, Steemit.

Sistemas de Numeración

Los sistemas de numeración, nos permite a través de un conjunto de símbolos (pueden ser dígitos numéricos y o letras, o cualquier otro tipo de carácter) y una lista de reglas para su combinación y uso de los símbolos, que permitirá construir los números del sistema. Así lo podemos escribir de manera formal, como sigue:

donde es el sistema de numeración, el conjunto de símbolos, y la lista de reglas.

Los sistemas de numeración más comunes son el sistema decimal (es el que usamos a diario), el sistema binario (es el sistema que usan los computadores, también conocido como lenguaje máquina), el sistema octal y el sistema hexadecimal.

En general, la regla para describir un sistema de numeración podemos enunciarla de la siguiente manera:

Adicionalmente, como ya mencionamos el sistema binario, el cual consta de solo dos símbolos,

y es usado para programar en lenguaje máquina; existen otros sistemas que son usados en otras áreas de la computación y las telecomunicaciones, como lo son el sistema de numeración octal, el cual está definido en un sistema de base 8, es decir, que consta de solo 8 dígitos o símbolos, y el sistema de numeración hexadecimal, el cual está definido en un sistema de base 16, es decir, que consta de 16 dígitos o símbolos,

Por ejemplo, se deseamos especificar la base en la que está definido un número, se utiliza el índice en la parte inferior derecha del número:

lo cual nos indica que el número esta definido en un sistema de numeración en base 2, o comúnmente llamado binario. De igual manera si tenemos el número

nos indica que el número está definido en un sistema de numeración en base 8, o comúnmente llamado octal.

Cuando tenemos por ejemplo un número en el sistema decimal, es normal omitir el índice 10, sin embargo el mismo se utiliza solo en los casos que sea necesario aclarar el concepto. La palabra dígito se refiere generalmente a los símbolos del sistema decimal, pero también lo usaremos para designar los de los demás sistemas con este mismo nombre.

Sistema Posicional

Ahora bien, los sistemas numeración que hemos considerado por ahora, incluido el sistema decimal, están basados en los sistemas posicionales, esto quiere decir, que un el valor de un símbolo en un número de el sistema, tiene una represerntación que depende unicamente de la posición que ocupe dicho número. Veamos un pequeño ejemplo en el caso de números en el sistema decimal:

el dígito 7, representa 700 unidades en el número 725; mientras que el mismo dígito 7 representa 70 unidades en el número 571. Lo podemos ver visualmente de la siguiente manera:

Así que podemos generalizarlo de la siguiente manera:

1. Se numeran los dígitos de derecha a izquierda con un superíndice, empezando desde cero, e incrementando de uno en uno en los dígitos de derecha a izquierda. Por ejemplo:
   
2. Luego, cada superíndice de cada dígito se utiliza para escribirlo en forma de potencia de la base del sistema de numeración donde estemos expresando la representación numérica. Por ejemplo,
   
3. Posteriormente, se multiplica el valor del dígito, por su potencia de la base correspondiente.
   

Ahora, si deseamos conocer el equivalente en el sistema de numeración decimal del número entero dado, sumamos todos los productos obtenidos en el paso 3.

Veamos algunos ejemplos donde podremos aclarar mejor lo que acabamos de enunciar.

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Ejemplo 1. ¿Cuál es el valor de cada dígito en el número 3275 en el sistema de numeración decimal ?

La base del sistema de numeración decimal es 10. Así que para obtener el valor de cada dígito debemos seguir los pasos mencionado anteriormente como sigue:

1. Numeramos los dígitos usando superíndices. Entonces, el número se puede escribir de la siguiente manera:
   
2. Tomamos los superíndices para formar potencias de la base de la siguiente manera:
   
3. Multiplicamos cada dígito por las potencias correspondientes:
   

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Ejemplo 2. ¿Cuál es el valor de cada dígito en el número 3275 en la base octal? ¿Cuál es el equivalente decimal del número?

Como la base del sistema de numeración es la octal, entonces la base es 8. Siguiendo el algoritmo dado anteriormente tenemos lo siguiente:

Luego tenemos:

Así, su equivalente en el sistema de numeración decimal se obtiene sumando todos los productos que ya obtuvimos previamente:

Podemos observar que cada vez que hacemos la equivalencia de número en el sistema de numeración decimal, también determinamos el valor individual de cada dígito en el sistema de numeración decimal.

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de este primer punto de la serie de Computación y Programación, los espero en la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos hablando de los sistemas de numeración y otras cosas interesantes. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco mas del maravilloso mundo de las matemáticas y la computación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Knuth, Donald Ervin. The art of computer programming. Vol. 1, 2, y 3. Pearson Education, 1997.
• Knuth, Donald Ervin. Fundamental algorithms: the art of computer programming. 1973.
• Knuth, Donald Ervin. Computer programming as an art. ACM Turing award lectures. ACM, 2007.

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Todas las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con , y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}