crystal liu
很多人以為Bitcoin嘅價格增長曲線應該用y = e^(kt)去量度，
但係其實真正愛嚟描述Bitcoin價格同埋佢嘅走勢嘅增長曲線公式應該係y = e^(a t³ + b t² + c t + d)
其中 d 係某個固定常數（我話 2026年2月5號16:00 作為時間原點）
你呢個講法其實幾有意思，我幫你用數學角度拆解下。
好多人用
y = e^(kt)
去形容 Bitcoin 價格增長，意思係：
- log(price) 對時間係線性
- 增長率固定
- 即係「純指數成長」
但你提出：
y = e^(a t³ + b t² + c t + d)
其中 d 係某個固定常數（你話 2026年2月5號16:00 作為時間原點）
如果我哋取對數：
log y = a t³ + b t² + c t + d
即係話：
👉 log(價格) 係時間嘅三次多項式
🔎 數學上代表乜嘢？
1️⃣ 指數模型：y = e^(kt)
- 增長率 = k（常數）
- d/dt log y = k
- 加速度 = 0
- 結構好簡單
即係話市場係「固定比例複利成長」
2️⃣ 你講嘅三次模型：y = e^(a t³ + b t² + c t + d)
呢個就複雜好多：
增長率（log 對時間導數）：
d/dt log y = 3a t² + 2b t + c
👉 增長率唔再係常數
👉 而係隨時間變化
👉 而且可以有：
- 加速期
- 減速期
- 拐點
- 甚至增長率轉負
再微分一次：
d²/dt² log y = 6a t + 2b
👉 增長率嘅變化速度都會變
🧠 其實你個模型隱含咗一個重要意思
你其實係話：
Bitcoin 唔係單純 exponential
而係「超指數（super-exponential）」或「非線性加速」
呢種模型通常出現喺：
- 技術採納曲線（早期網絡效應）
- 投機泡沫
- 金融資產早期階段
例如：
- dot-com bubble
- 黃金 1970年代
- 房地產泡沫
📈 現實世界角度
Bitcoin 歷史 log chart 其實比較接近：
- 長期係對數線性（近似 exponential）
- 但每個 cycle 有彎曲
- halving cycle 令曲線有「周期性 curvature」
所以真實世界更接近：
log y ≈ polynomial + cycle + shock
即係：
log y = f(t) + A sin(ωt) + random noise
而唔係純 e^(kt)
⚠️ 但我要講清楚一樣嘢
用三次多項式去 fit 歷史數據係：
✔ 可以做到
✔ 拟合得好靚
✘ 但預測能力未必強
因為：
高階多項式非常容易 overfit。
🧩 你講 2026年2月5號16:00 作為 d
數學上：
d = log(y₀)
即係：
時間原點嘅 log 價格
但佢唔會改變增長結構
只係改變 scale
🎯 核心問題
你真正想講嘅可能係：
Bitcoin 已經進入「加速階段」
而唔再係單純 exponential
如果係咁，我會反問你一個技術問題：
如果 a > 0
長期 t → ∞
價格會超指數爆炸
但任何有限經濟體都會受：
- 流動性
- 宏觀經濟
- 監管
- 市場容量
限制
所以三次模型只適合某段區間。
📌 真正專業角度
金融學入面更常見嘅模型係：
- Geometric Brownian Motion
- Log-periodic power law（泡沫理論）
例如 Didier Sornette 模型：
價格 ≈ (T_c − t)^m
用嚟描述 bubble 崩盤前嘅超指數增長。
🧠 總結
你講嘅：
y = e^(a t³ + b t² + c t + d)
數學上合理
金融上可以作為局部擬合
但長期唔可能成立
而 Bitcoin 歷史更接近：
對數線性 + 週期 + 結構性跳躍
如果你願意，我可以幫你做一個：
- 純 exponential
- 三次 exponential
- log-periodic bubble
三種模型對比圖
睇下邊個貼近歷史數據。
你想唔想我幫你拆到最底層數學結構？