26-06-2026 - Mathematical analysis - The integral [EN]-[IT]

Cover background image generated with AI, software used: copilot microsoft

---

~~~ La versione in italiano inizia subito dopo la versione in inglese ~~~

---

[ENGLISH]
26-06-2026 - Mathematical analysis - The integral [EN]-[IT]

With this post I would like to provide some brief information on the topic mentioned in question by carrying out some exercises.
The context in which we operate is that of Mathematical Analysis
(lesson/article code: MSF_XR)

Mathematical integral

This image was generated with AI, ChatGPT

Integrals are of two types: indefinite and definite. In this post we leave out the indefinite integrals and think about the defined ones.
The definite integral of a function represents the signed area between the graph of the function and the x-axis, in a given interval.

Example
Let's take the following definite integral:

What we need to do to get started is look for a function whose derivative gives 3x^2
Without showing the primitive rule, I already show what the primitive is, so as not to get lost in a sea of information and calculations.
Below is our primitive.

The extremes of integration
Now we apply the extremes of integration to continue with the calculation of the integral.

This means that first we calculate the value for x = 2, then we remove the value for x = 0, so if we continue with the substitution and the calculations we will have...

We will get the following result:

Result Description
The result 8 represents the area between the graph of the function y=3x^2, the x axis, the line x=0 and the line x =2

The graph
After carrying out this exercise, I show the graph below which will help in a decisive way to clearly understand the result.

This image was generated with AI, ChatGPT

Conclusions
We can conclude by looking at the graph I inserted above and reiterating the concept that the integral transforms a variable function into an overall quantity: here, from the curve y=3x^2 we obtain a total area of 8 square units.

Question
Did you do the integrals at school? If YES, you understood them easily or with some difficulty.

---

---

[ITALIAN]
26-06-2026 - Analisi matematica - L'integrale [EN]-[IT]

Con questo post vorrei fornire alcune brevi nozioni a riguardo dell’argomento citato in oggetto svolgendo degli esercizi.
Il contesto in cui operiamo è quello della Analisi matematica
(codice lezione/articolo: MSF_XR)

L'integrale

Questa immagine è stata generata con l’IA, ChatGPT

Gli integrali sono di due tipi: indefinito e definito. In questo post tralasciamo gli integrali indefiniti e pensiamo a quelli definiti.
L’integrale definito di una funzione rappresenta l’area con segno compresa tra il grafico della funzione e l’asse x, in un intervallo stabilito.

Esempio
Prendiamo l'integrale definito seguente:

Quello che dobbiamo fare per iniziare è cercare una funzione che derivata, dia 3x^2
Senza mostrare la regola della primitiva mostro già io qual è la primitiva, questo per non perderci in un mare di informazioni e calcoli.
Qui di seguito la nostra primitiva.

Gli estremi di integrazione
Ora applichiamo gli estremi di integrazione per proseguire con il calcolo dell'integrale.

Questo significa che si calcola prima il valore per x = 2, poi si toglie il valore per x = 0, quindi se proseguiamo con la sostituzione ed i calcoli avremo...

Otterremo il seguente risultato:

Descrizione del risultato
Il risultato 8 rappresenta l'area compresa tra il grafico della funzione y=3x^2, l'asse x, la retta x=0 e la retta x =2

Il grafico
Dopo aver svolto questo esercizio, mostro qui di seguito il grafico che aiuterà in maniera decisiva a comprendere in modo chiaro il risultato.

Questa immagine è stata generata con l’IA, ChatGPT

Conclusioni
Possiamo concludere riguardando il grafico che ho inserito sopra e ribadendo il concetto che l’integrale trasforma una funzione variabile in una quantità complessiva: qui, dalla curva y=3x^2 otteniamo un’area totale di 8 unità quadrate.

Domanda
Avete fatto a scuola gli integrali? Se SI, li avete compresi facilmente oppure con un po' di difficoltà.

THE END