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퀴즈 13 저울문제2

500원 짜리 동전 12개가 있다. 이 중 하나만 가짜라 무게가 다르다. 다만 이 가짜 동전의 무게가 가벼운지 무거운지는 알 수 가 없다. 양팔 저울을 최소 몇번을 써야 가짜 동전을 찾을 수 있는가?

hint 일단 동전에 라벨링을 해보자. 1,2,3,...12

아침에 올린 퀴즈 13에 많은 관심들을 가져 주셨는데 ... ㅠㅠ

어떻게해도 감을 못잡겠다면 밑에 해설을 보기 전에

먼저 직전 퀴즈의 댓글들을 한번 읽어보고

다시 생각을 해 보자.

아니 펜을 들어보자.

한번 생각해 보았나?

머리로만 계속 하고 있는가

펜을 들자!

Are you ready?

해답 가즈아~

[쓰다 보니 길어졌네요 ㅠㅠ]

퀴즈 13 저울문제2 - 해설

먼저 500원 동전에 1,...12 번까지 라벨링을 해보자

이 동전들을 (1,2,3,4), (5,6,7,8), (9,10,11,12) 세 그룹으로 나누어 보자.

그리고 임의의 두 그룹을 양팔 저울에 올려놓아보자.

편의상 (1,2,3,4) 와 (5,6,7,8) 을 올려 놓아보자. 그러면 양팔저울의 특성상 한쪽으로 기울거나 아니면 평행할 것이다.

• 1 . 평행 할 경우

평행하다는 것은 1,2,3,4 와 5,6,7,8 은 모두 같은 무게를 가진 동전이라는 것을 의미한다. 이로써 찾고자 하는 무겁거나 가벼운 동전은 9,10,11,12 이 4개 중에 하나라는 사실이 나온다.

중요한 것은 우리는 이 9,10,11,12 중 어느것이 무겁거나 가벼운지는 모르지만, 1-8까지는 모두 같은 무게를 가진 진짜 500원짜리라는 것을 안다는 것이다. (즉 이 1-8번을 잘 사용하는 것이 핵심이다)

자 이제 (9,10,11,12) 를 두 그룹으로 나누어 보자. (9,10) 과 (11,12) 로 나누어 보자.

여기서 흔히 하기 좋은 실수 하나를 소개해 본다.

바로 남은 이 두 그룹을 비교하는 것인데

ㅠㅠ

고의적으로 실수를 한번 해보자.

그렇다 (9,10) 과 (11,12) 사이에는 가짜 동전 하나는 존재하니 저 둘을 비교하면 당연히 한쪽으로 기울 것이다. (무거운지 가벼운지는 모른다 다만 기운다는 것을 안다.) (9,10) 과 (11,12)를 저울에 재면 당연히 한 쪽으로 기울 것이다. [2번째]

예를 들어 (9,10) 쪽으로 기울었다고 하자. 여기서 우리는 크게 두 가지로 생각을 할 수 있다. (9,10) 중에 무거운 가짜 동전이 있거나 (11,12) 중에 가벼운 가짜 동전이 있을 수 있다. (2번)

(9,10) 쪽으로 기울었고 이를 기준으로 잡는다고 해보자. 여기서 (9,10) 을 저울로 측정했더니 한쪽으로 기울었다고하자. (3번) 그러면 9, 10 중에 무겁거나 가벼운 것이 하나 존재한다는 것이고

그것을 구별하기 위해서 9,10 중에 하나를 나머지 하나와 비교해야 한다. 예를 들어 11 을 골랐다고 하자. (9,11) 을 저울에 넣었고 평행하다면 10이 이상한 가짜 동전이고, 한쪽으로 기울었다면 9가 가짜 동전이 된다. (즉 이런 경우에 저울을 4번 쓰게 된다)

(11,12)를 기준으로 잡아도 비슷한 방식으로 하면 4번이 나온다.

그렇다면 답은 4번인가?

아니다!

우리는 먼가 중요한 정보를 빠트렸다.

바로 처음 저울질을 하면서 얻은 정보인 (1-8) 동전은 진품 500원 동전이라는 사실이다!

자 이제 제대로 풀어보자.

우리는 이미 (1-8) 동전이 진품인 것을 알고 있다. 이 진품 동전에서 임의로 두개를 뽑아보자. 편의성 (2,3) 을 뽑았다고 하자. 그리고 이 (2,3)을 (9,10) 혹은 (11,12) 과 비교해보자.

편의상 (2,3)을 (9,10) 과 비교했다고 하자. [2번]

(2,3) 과 (9,10) 이 평행을 이룬다면 11,12 중에 하나가 가짜이다. 그 다음에 해야 될 일은 1-10 중에 아무런 동전(저기서 뽑은 동전은 모두 진짜이다!) 하나와 11,12 둘 중 하나를 비교하면 된다.

1번과 11번을 비교했다고 하자 [3번] 만약 평행을 이루면 11번은 진짜 12번은 가짜가 된다.
한쪽으로 기울었다면 11번이 가짜가 될 것이다.

자 (2,3)과 (9,10) 이 평행을 이루지 않았다고 해보자. 이 말은 (9,10) 중에 무겁거나 가벼운 동전이 있다는 말이다.
이 때에는 9를 10을 제외한 다른 동전과 비교하면 (3번) 된다. 편의상 1을 골라서 측정했다고 하자 9과 1과 평행했다면 10이 가짜 동전이 될 것이고 9가 1과 평행하지 않았다면 9가 가짜 동전이다!

즉 (1,2,3,4) 와 (5,6,7,8)이 평행 했을 때 최소 세 번의 저울질을 통해 우리는 가짜 동전의 번호를 정확히 잡아낼 수 있다.

• 2 . 한쪽으로 기울었을 경우

자 이제 나머지 경우를 해보자

(1,2,3,4) 와 (5,6,7,8)을 측정했을 때 한쪽으로 기울었다고 해보자.

이 말은 (1-8) 동전 사이에 가짜 동전 하나가 숨어있다는 것을 알려준다. 즉 (9,10,11,12) 는 진짜 500원 동전이라는 것을 알려준다.

자 편의상 첫번째 측정이 (1,2,3,4) 쪽으로 기울었다고 하자

(1,2,3,4) 와 (5,6,7,8) 사이에 가짜 동전이 있고 (9,10,11,12) 는 진짜 동전이다.

여기서 재밌는 짓을 해보자.

(1,2,6) 과 (3,5,10) 을 측정해 보자. [2번] 우리가 아는 사실은 저 동전 중에 10만이 진짜라는 것

case 1. 만약 저 측정이 평행하게 나왔다면 4가 무겁거나, 7,8 이 중에 가벼운 동전이 있다는 것이 된다.

즉 세번째 측정에서 7,8을 재어 평행하다면 4가 가짜고 한쪽으로 기울어 무게가 구별된다면 가벼운 동전이 가짜인 것으로 가짜 동전 하나를 특정할 수 있다.

case 2. 자 한쪽으로 기울었다고 하자.

먼저 (1,2,6) 으로 기울었다고 하자. 이 말은 1,2 가 무거운 동전이거나 5가 가벼운 동전임을 의미한다.

그럼 이제 (1,2) 를 재어보자(3번) 만약 1-2가 평행하다면 5번이 가벼운 공으로 가짜고 한쪽으로 기운다면 무거운 동전이 가짜가 된다.

자 (3,5,10) 으로 기울었다고 하자. 이 말은 3이 무거운 동전이었거나 6이 가벼운 동전이었다는 것을 말해준다.

나머지 할 일은 3이나 6을 3과 6을 제외한 나머지 동전과 비교해 보면 된다. [3번]

편의상 3을 1이랑 비교했다고 치자. 평행하면 6이 가벼운 공이고 다르다면 그렇지 않다면 3으로 기울 것이다.

즉 (1,2,3,4) 와 (5,6,7,8) 이 한쪽으로 기울어졌을 때에도 3번으로 무겁거나 가벼운 가짜 동전 하나를 찝어 낼 수 있다!

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하 길어졌다. 결론은 3번을 시도하면 저 12개의 동전중에 무겁거나 가벼운 가짜 동전 하나를 찾을 수 있다는 것이다.
약간의 수학적 사고가 필요한 문제였다.

참고로 이 문제는 레이튼 게임이나 TV 방송에도 종종 소개된 저울퍼즐 문제이다!

금방 답을 적을 줄 알았는데 생각보다 적는데 오래걸려서 놀랐다..