[수학 이야기 #1] 주기 함수의 신기한 성질들

mathsolver (53)in #kr • 7 years ago

주기함수 (Periodic Functions)

수학에서 주기를 가진다는 것은 굉장히 좋은 조건이다. 왜냐하면 한 주기 내에서 함수의 변화를 관찰하는 것만으로, 정의역 전체에서의 함수의 변화를 알 수 있기 때문이다.

1. 들어가기에 앞서서

여기서 이야기할 모든 함수들은 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 로 한정한다. 즉 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 의 꼴을 가진다.

2. 주기함수란?

함수 $f$ 가 주어졌을 때, 모든 실수 $x$ 에 대해, $f(x + T) = f(x)$ 를 만족하는 실수 $T$ 가 존재하면, 이를 함수 $f$ 의 주기라 한다.

물론, 이러한 수가 유일한 것은 아니다. 예를 들어서 주기가 2인 함수가 있다면, 당연히 2의 정수배인 수들 ( $\pm 2,\ \pm 4,\ \pm 6, ...$ ) 또한 주기이다. 좀 더 자세히 알아보면 다음과 같다.

2-1. 주기들 간의 관계

함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 에 대해, 집합 $\mathcal{T}$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\mathcal{T} := \left\{ T \in \mathbb{R}: f(x + T) = f(x) \text{ for all }x \in \mathbb{R} \right\}$
그렇다면,

성질 1. 항상 $0 \in \mathcal{T}$ 을 만족한다. (...!)

성질 2. 만약 $p,q \in \mathcal{T}$ 를 만족하면, $p + q \in \mathcal{T}$ 가 성립한다. (왜냐하면, $f(x + p + q) = f(x + p) = f(x)$ 이므로)

성질 3. 만약 $p \in \mathcal{T}$ 를 만족하면, $-p \in \mathcal{T}$ 가 성립한다. (왜냐하면 $f(x - p) = f(x - p + p) = f(x)$ 이므로)

이를 정리하면, 집합 $\mathcal{T}$ 는 공집합이 아니며 덧셈에 대한 항등원 0을 원소로 가지고(1), 덧셈에 대해 닫혀있으며(2), 덧셈에 대한 역원이 항상 존재한다(3). 따라서 $\mathcal{T}$ 는 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$ 의 덧셈에 대한 부분군이다!
물론 부분군이라는 개념을 몰라도 전혀 상관없지만 중요한 사실이기에 적어보았다.

2-2. 대표적인 주기함수의 예시

고등수학의 꽃인 삼각함수 $\sin x$ 와 $\cos x$ 은 대표적인 주기함수 중 하나이다.

이 둘은 모두 (항상 외워왔듯이) $2\pi$ -주기함수이다. 앞선 성질 (2)와 (3)을 조합하면, 모든 $2\pi$ 의 정수배들 또한 주기임을 알 수 있다. 그렇다면 여기서 이런 질문을 던질 수 있다.

$\sin x$ 가 $2\pi$ 보다 작고 $0$ 보다는 큰 (즉 양수인) 주기를 갖지는 않을까???

물론 그래프를 자세히 들여다보면 개소리라는 것을 알 수 있지만, 혹시 모르니 확인하여 보자. 만약 $T$ 가 사인함수의 주기라면,
모든 실수 $x$ 에 대해 $\sin(x+T) = \sin x$ 를 만족해야 한다. 그렇다면 삼각함수의 덧셈정리에 의해

$\sin(x + T) = \sin x \cos T + \cos x \sin T =\sin x$

를 만족해야 하고 따라서 $\cos T = 1\ \land\ \sin T = 0 \implies T = \2n \pi$ ( $n$ 은 정수) 꼴 이어야한 만다. 즉, $0 < T < 2\pi$ 를 만족하는 주기 $T$ 는 존재하지 않는다.

2-3. 예시가 의미하는 바??

여기서 중요한 사실은, 앞서 본 사인 (또는 코사인도 마찬가지) 삼각함수의 경우에는 양수의 주기들 중, 최소값이 존재한다는 것이다. 이때 최소값은 앞서 확인했듯이 $2\pi$ 였다. 그렇다면

모든 주기함수들은 양수인 주기들 중의 최소값을 가질까?

라는 새로운 질문을 던질 수 있다.

3. 기본 주기 (Fundamental Period)

기본주기란, $\alpha := \inf (\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0})$ 를 뜻한다. 뜬금없는 정의가 튀어나와 이상하겠지만, 이 식은 정확히 2-3의 논지들을 모두 포함하고 있다.

교집합 $\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ 은 양수의 주기들을 모아놓은 집합이다. 만약 공집합이 아니라면(???!!!), 항상 하한 (lower bound) $0$ 을 가지므로, 완비성 정리 (completeness of real number system)에 의해 무조건 하계 (infimum)이 존재한다. 이것이 바로 $\alpha$ .
예시 $\sin x, \cos x$ 의 경우, $\alpha = 2\pi$ 임을 확인할 수 있다. 즉, 우리의 질문은

모든 주기함수에 대해 $\alpha > 0$ 을 만족하는가?

로 바뀐다. 이제 이 질문에 대한 답을 해볼 차례이다.

4. 주기함수의 분류 (Classification)

4-1.

먼저 우리가 Section 3에서 무심코 지나친(!) $\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0} = \emptyset$ , 즉 양수 주기가 아예 존재하지 않는 경우에 대해 살펴보자. 성질 (3)에 의해, $\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{<0}$ 또한 공집합이 되므로, 성질 (1)에 의해

$T = \left\{ 0 \right\}$
가 된다. 즉 이 경우 $f$ 는 주기함수가 아닌 일반적인 함수이다.

4-2.

이제 $\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0} \neq \emptyset$ 이고 $\alpha > 0$ 인 경우에 대해 살펴보자. 하계(infimum)의 정의에 의해, $\left\{ \alpha_{n} \right\} \subset \mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ 이고,

$\alpha_{1} > \alpha_{2} > ... > \alpha_{n} > ...$
을 만족하며 (즉 강한단조감소수열), $\alpha_{n} \rightarrow \alpha$ 로 수렴하는 수열 $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 이 존재한다.

이제 이로부터 얻어진 새로운 수열 $\beta_{n} := \alpha_{n} - \alpha_{n+1}$ 을 생각해보자. $\beta_{n} >0$ 이고 각 $\alpha_{n}$ 들이 모두 주기이므로 성질 (2)에 의해 $\beta_{n}$ 도 주기이다. (다시 말해 $\left\{ \beta_{n} \right\} \subset \mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ . ) 또한 $\beta_{n} \rightarrow 0$ 이므로, 이는 $\alpha > 0$ 이라는 가정에 모순이다. 따라서 어느 항 $N_{0} \in \mathbb{N}$ 이상부터는 무조건 $\beta_n = 0$ 을 만족해야 하고 (왜일까요...?) , 따라서 모든 자연수 $n \geq N_0$ 에 대해, $\alpha_n = \alpha$ 가 성립한다. 즉 자동적으로 $\alpha \in \mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ (하계이자 최소값)이 된다.

임의의 원소 $p \in \mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ 를 고르자. 아르키메데스의 성질 (Archimedean property of real numbers)에 의해

$k\alpha \leq p < (k+1)\alpha$
가 성립하는 적당한 정수 $k$ 가 존재하고, 이는 다시 쓰면
$0 \leq p - k\alpha < \alpha$
가 된다. 성질 (2)에 의해 $p - k\alpha \in \mathcal{T}$ (즉 주기)이므로, $p - k\alpha =0 \implies p = k\alpha$ 의 경우 밖에 될 수 없다. 따라서

$\mathcal{T} = \alpha \mathbb{Z} = \left\{ k\alpha: k \in \mathbb{Z} \right\}$
이다.

4-3.

이제 $\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0} \neq \emptyset$ 이고 $\alpha = 0$ 인 경우에 대해 살펴보자. 먼저 임의의 $\epsilon > 0$ 을 선택한다. 하계(infimum)가 $0$ 이므로, $0 < p < \epsilon$ 을 만족하는 원소 $p \in \mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ 가 존재한다. 임의의 원소 $r \in \mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ 에 대해

$kp \leq r < (k + 1)p$ 을 만족하는 적당한 정수 $p$ 를 잡는다. 그렇다면 성질 (2)에 의해 $r - kp \in \mathcal{T}$ 이고, $0 \leq r - kp < p < \epsilon$ 을 만족하므로, 집합 $\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ 은 $\mathbb{R}^{>0}$ 에서 조밀함을 알 수 있다. 성질 (3)에 의해 $\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{<0}$ 은 $\mathbb{R}^{<0}$ 에서 조밀하므로, 결과적으로
$\mathcal{T}$ 은 $\mathbb{R}$ 의 조밀 부분집합이다!

4-4. 정리

종합해보면 모든 함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 은 다음 분류 중 오직 하나에 속한다.

분류 1. 주기가 존재하지 않는 일반적인 함수

분류 2. 기본 주기가 존재하며, 모든 주기는 기본 주기의 정수배 꼴로 나타낼 수 있는 함수.

분류 3. 기본 주기가 존재하지 않으며, 주기들의 집합이 $\mathbb{R}$ 의 조밀 부분집합인 함수

앞서 본 삼각함수의 경우 분류 2에 속함을 알 수 있다!

5. 우리의 원래 질문으로 돌아가서...

그렇다면 우리의 질문은 모든 주기함수는 분류 2에 속하는가? 인데, 허무하게도 굉장히 쉬운 반례가 존재한다. 바로 상수함수이다... 상수함수는 모든 실수를 주기로 가지기 때문에 (즉 $\mathcal{T} = \mathbb{R}$ ) 분류 3에 속하게 된다...

이제 질문을 좀 더 다듬어서,

모든 상수함수가 아닌 주기함수는 분류 2에 속하는가?

에 대한 답을 하여보자. 먼저 이에 앞서 중요한 정리가 존재한다.

5-1. 연속성과 주기에 관한 정리

Theorem. 상수함수가 아닌 주기함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 이 한 점 $x = a$ 에서 연속이면, 항상 기본주기를 가진다.

Proof. 모순을 보이기 위해 기본주기를 가지지 않는다고 하자. 그렇다면

$\alpha = \inf (\mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0})=0$

이다. 하계 (infimum)의 정의에 의해 $\left\{ \alpha_{n} \right\} \subset \mathcal{T} \cap \mathbb{R}^{>0}$ 이고 $\alpha_{n} \rightarrow \alpha=0$ 을 만족하는 강한 단조감소 수열 $\left\{ \alpha_n \right\}$ 이 존재한다.

이제 임의의 $\epsilon >0$ 를 잡는다. $x=a$ 에서의 연속성은

$|x-a|<\delta \implies |f(x) - f(a)|<\epsilon$

을 항상 만족하게 하는 양수 $\delta > 0$ 의 존재성을 보장한다. 그 다음, 함수

$g(n):= \sup f(t) - \inf f(t)\ (\text{where } t \in [a, a + \alpha_n])$

을 정의한다. (단, $\alpha_{n} < \delta$ 를 만족하는 $n$ 들로 한정한다). 먼저 $\alpha_n$ 은 주기이므로, 정의역 $\mathbb{R}$ 전체에서의 상계 (supremum)과 하계 (infimum)의 차는 $g(n)$ 과 일치해야한다. 그런데 $0< g(n) \leq \epsilon$ 이고 (왜일까요...?) $g(n) \rightarrow 0$ 이므로 결국 $f$ 는 상수함수일 수 밖에 없다. 이는 모순이며 $\alpha > 0$ , 즉 기본주기를 가져야 한다. Q.E.D

5-3. 반례와 결론

앞서 본 정리가 말하는 바의 대우명제는 다음과 같다. (대우는 원 명제와 항상 진리값이 같음!)

만약 어떤 함수가 분류 3에 속한 다면, 정의역 전체, 즉 모든 실수에서 불연속인 함수여야 한다

그럼 이런 함수로는 무엇이 있을까? 가장 유명한 함수로는 디리클레 함수 (Dirichlet Function)이 있다.

$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

여기서 $\mathbb{Q}$ 는 유리수 집합을 의미한다. 즉 이 함수는 유리수에서 1, 무리수에서 0의 함숫값을 가진다. 임의의 유리수 $r \in \mathbb{Q}$ 에 대해, $x$ 가 유리수이면 $x+r$ 도 유리수이고, $x$ 가 무리수이면 $x+r$ 도 무리수이다. 따라서 모든 실수 $x$ 에 대해

$f(x) = f(x+r)$
이 성립한다. 즉 $\mathbb{Q} \subset \mathcal{T}$ 로 이미 $\mathcal{T}$ 는 조밀집합이며 분류 3에 속함을 알 수 있다. 또한 $\mathbb{Q}^{>0}$ 의 하계는 0이므로 $\alpha = 0$ 임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 우리의 질문에 대한 답은 NO!