EJERCICIOS DE NOTHERIANIDAD II

(6) Sea A un anillo noetheriano y (0) = Q ₁∩ ⋯∩ Q _t. la descomposición primaria del ideal nulo, donde Q _i es P _i - primario. Demostrar que Z(A) = P ₁ ∪ ⋯ ∪ P _t, siendo Z(A) los divisores de cero del anillo.

Solución. Veamos que cada P _i ⊆ Z(A) . En efecto, sabemos que Pi =√Qi y por lo tanto para r ∈P _i (r ≠ 0), existe n ≥ 1 tal que r ⁿ∈ Q _i. Como Q ₁∩ ⋯∩Q _i ^{^} ∩...∩Q _t≠ 0, existe s ∈Q Q ₁∩ ⋯∩Q _i ^{^} ∩...∩Q _t, s ≠ 0 tal que r∙ s = 0 , se deduce que cada P _i ⊆ Z(A) . Para ver que Z(A) ⊂P ₁ ∪ ⋯ ∪ P _t, es conocido que Ass(A) = Ass( A/Q ₁) ∪ ⋯ ∪ Ass(Q _t) =P ₁ ∪ ⋯ ∪ P _t. Si x ∈ Z(A), entonces existe y ≠ 0 tal que y ∙ x = 0. Tenemos que M = Rx ≠ (0) y por lo tanto existe z= r ∙ y ≠ 0, P =Ann(z) ∈ Spec(A) . Se deduce que P ∈ Ass(A) y como x ∈ P se deduce el resultado.

(7) Sea A noetheriano, P un ideal máximal de A. Demostrar que P ² es

un ideal P −primario.

Solución. Veamos que Ass( A/P ² ) = {P }. Sea α = Ann(r + P ²) (r ∉ P ²) con α un ideal primo de A. Es claro P ² ⊆ α y como α es primo, P⊆ α y al ser P máximal deducimos que α=P.

(8) Sea A un dominio y P un ideal primo no nulo de A. Demostrar que P² ≠ P.

Solución. Si P= P , entonces ⋂ Pⁿ _n≥0 ={x∈R: existe b∈P con (1−b)x=0} . Es decir, si x ∈ P, x ≠ 0 , existe b ∈ P talque (1 − b)x= 0 y como A es dominio, se deduce que b= 1. Esto afirma que P=R lo que es contradictorio.

(9) Sea A un anillo noetheriano y Q un ideal tal que √Q=Q . Demostrar que Q no tiene primos inmersos.

Solución. Sea la descomposición primaria de Q, mediante Q= Q₁ ∩ ⋯ ∩ Q_n, tal que cada es Q_i es P_i-primario con P_i≠P_j (i ≠ j) y además Q ≠ Q₁ ∩ ⋯ ∩Q_i^{^} ...∩Q_n. Hay que demostrar que P_i⊈ P_j (i ≠ j) . Supongamos que P_i⊊ P_j (i ≠ j) . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que i = 2, j= 1. Tenemos que √Q = √Q₁ ∩...∩√Q_n= P₂ ∩P₁∩ ⋯ ∩ P_n = P₂ ∩...∩ P_n . Como Q₂ ∩ ⋯ ∩ Q_n ⊆ P₂ ∩...∩ P_n , se deduce que Q = Q₂ ∩... ∩ Q_n lo que es contradictorio.

NOTA

Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a ejercicios de anillos noetherianos, del capítulo 6 del libro de M.F. Jacob Barhsay: TOPIC IN RING. Editorial Benjamin. 1969.