LOCALIZACIONES III

Sea A un anillo, α un ideal de A y S un conjunto multiplicativo con 0 ∉ S, tal que α ∩S = ∅. Si θ: A →A/α es el morfismo canónico θ(a) = a + α y S´ = θ(S) = S + α , entonces (A/α )_θ(S) ≅ A_S/αA_S (isomorfismo de anillos).

En efecto, definamos f: A → (A/α )_θ(S) por f(a) =[[(a+α)/(1+α)]]. Es claro que f(S) ⊂U((A/α )_θ(S) ) , por lo tanto existe un único morfismo f^{^}: A_S → (A/α )_θ(S) tal que f^{^}∙ i_θS = f, donde f^{^}([a)/(1+α)]) = f(a) ∙ f(s)⁻=[[(a+α)/(s+α)]]. Es directo ver que f^{^} es sobreyectiva con ker( f^{^}) = αA_S. Se deduce lo afirmado.

Caso particularmente interesante es cuando S = A − α, donde α es un ideal primo de A. En este caso (A/α )_{A − α} ≅ A _α/αA _α = k(α), donde k(α) es el cuerpo residual de α.∎




Ahora consideremos morfismos de anillos g: A → B y h: B → A_S donde S un conjunto multiplicativo de A con 0 ∉ S . Supongamos que: (1) h ∘ g = i_S (2) Para cada b ∈ B, existe s ∈ S tal que b ∙ g(s) ∈ g(A), entonces existe un conjunto multiplicativo T ⊂ B tal que A_S ≅ B_T ≅ B_g(S)




Veamos primeramente que existe T ⊂ B multiplicativo, tal que A_S ≅ A_T . Para ello definamos T = {t ∈ B: h(t) ∈ U(A_S )} . Como h ∘ g = i_S , deducimos que g(S) ⊂ T y que 0 ∉ T . Es fácil ver que T es multiplicativo. Como h(T) ⊂ U(A_S ) (por definición de T ), luego existe un único morfismo h^{^}: B_T → A_S tal que h^{^} ∘ i_T = h donde h^{^}([b/t])=h(b)/h(t). Por otro lado i_T (g(S)) ⊂ U(A_S ). Por lo tanto existe (i_T ∘g)^{^}= A_S → B_T tal que (i_T ∘g)^{^} ∘ i_S = i_T ∘g con (i_T ∘g)^{^}([[a/s]])=i_T ∘g(a)/i_T ∘g(s)=[g(a)/g(s)] , luego h^{^}((i_T ∘g)^{^}([[a/s]]))=[hg(a)/hg(s)] =[a/s] , es decir (i_T ∘g)^{^} es inyectiva. Veamos que es sobreyectiva. Primero notemos que dado b ∈ B, existe s ∈ S tal que b ∙ g(s) = g(a), luego (i_T ∘g)^{^}([[a/s]])=[g(a)/g(s)]=[b ∙ g(s)/g(s)]=[b/1]. En particular, si t ∈ T, existe u ∈ A_S tal que (i_T ∘g)^{^}(u)=[t/1] . Se deduce que u = h(t) ∈ U(A_S ). Como (i_T ∘g)^{^}(u∙u⁻)=[1/1] , entonces (i_T ∘g)^{^}(u⁻)=[1/t] . En general [b/t]=[b/1][1/t]∈ (i_T ∘g)^{^}(A_S ) . Es decir (i_T ∘g)^{^} es un isomorfismo, lo que prueba que A_S ≅ A_T.

Para demostrar que B_T ≅ B_g(S) , basta simplemente demostrar que T =g(S)^—. Primero observemos que T es saturado. En efecto, si b ∙ b´ ∈ T, entonces h(b ∙ b´) = h(b) ∙ h(b´) ∈ U(A_S ) , de lo que deducimos que h(b), h(b´) ∈ U(A_S ) lo que asegura lo afirmado. Supongamos que b ∈ g(S)^—, luego existe a ∈ A tal que a ∙ b = g(s), s ∈ S. Deducimos que h(a). h(b) ∈ U(A_S ), es decir a, b ∈ T, luego g(S)^— ⊂ T. Ahora sea t ∈ T. Existe s ∈ S tal que g(s) ∙ t = g(a), a ∈ A. Por lo tanto [[s/1]]h(t)=[[a/1]]. Es decir [[a/1]] es invertible, luego [[a/1]].[[a´/s´]]=[[1/1]]. Tenemos que s´´ ∙ a ∙ a´ = s´´ ∙ s´, de lo que deducimos que g(s´´) ∙ g(a) ∙ g(a´) ∈ g(S) . Es decir g(a) ∈ g(S)^— y como g(S)^— es saturado, entonces t ∈ g(S)^— . Se termina la prueba.∎

Aplicaciones

(1) Sean g: A → B y h: B → AS morfismos de anillos donde S = A − P, P ∈Spect(A), Es claro que es S un conjunto multiplicativo de A con 0 ∉ S . Adicionalmente suponemos que: (1) S un conjunto multiplicativo con h ∘ g = i_S (2) Para cada b ∈ B, existe s ∈ S tal que b ∙ g(s) ∈ g(A), entonces, si h⁻¹ (P) = Q ∈ Spect(B) se cumple que A _P≅ B_Q .



Si consideramos el T del resultado anterior. Es inmediato ver que T = B − Q y por lo
tanto el resultado se sigue.



(2) Sea S ⊂ A multiplicativo con S ∩ Z(A) = ∅ (Z(A) simboliza los divisores de cero
del anillo A). Entonces (1) i_S : A → A_S es inyectiva (2) Si B es un anillo conmutativo con unidad, tal que i_S (A) ⊂ B ⊂ A _S entonces existe un T ⊂ B multiplicativo con A _S≅ B_T .

Veamos que i_S : A → A_S es inyectiva . Si i_S (a) = 0, entonces [a/1]=0, luego existe s ∈ S con s ∙ a = 0. Se deduce que a = 0. Se define g: A → B y h: B → A_S , por g(a) = i_S (a) y h(b) = b, ∀ b ∈ B. Es claro que h ∘ f = i_S . Dado [a/s] ∈ B, tenemos que [a/s] [s/1]= [a/s]g(s)=g(a)= [a/1]. Se aplica el resultado principal.∎

(3) Sean S, T ⊂ A multiplicativos con S ⊂ T, 0 ∉ T. Si T´ = i_S (T), entonces (A_S )_T´ ≅A_T .

Sea g: A → A_S con g = i_S y h: A_S → A_T por h([a/s])=[[a/s]]. Es claro que h ∘ f = i_T . Por otro lado dado [a/s] ∈ A_S , luego [a/s] [s/1]= [a/s]g(s)=g(a)= [a/1] (g(s) ∈ g(T)) . Sea T´´ = {[a/s] ∈A_S : h([a/s]) ∈ U(A_T )} . Como g(T) = i_S (T) = T´ ⊂ T´´ = g(T)^— , se deduce el resultado. Un caso particular del anterior es considerar P ∈ Spect(A) tal que P ∩ S = ∅ . Se deduce que S ⊂ A − P = T . Sea i_S (T) = T´. Se quiere demostrar que (A_S )_PAS ≅ A_P . Sólo tenemos que demostrar que i_S (T) (T) ⊂ A_S − PA_S ⊂T´´ , donde T´´ =T´´ = {[a/s] ∈A_S : [[a/s]] ∈ U(A_T )} . En efecto, i_S (t) = [t/1] (t ∈ A − P) . Se deduce lo afirmado. Por lo tanto (A_S )_T´≅ (A_S )_PAS ≅ A_P. Si Q ∈ Spect(A), P ⊂Q, por lo anterior deducimos que (A_Q)_PAQ ≅ A_P. ∎

Fuente

Hideyuki Matsumura: (1990) Commutative Rings Theory. Cambridge Universtiy Press. New York.