LOCALIZACIONES IV

Sea A un anillo conmutativo con identidad y S un conjunto multiplicativamente cerrado, i_S: A → A_S el morfismo canónico. Demostremos que i_S^∗: Spect(A_S) →Spect(A) definido por i_S^∗(β) = i_S⁻¹(β), ∀ β ∈ Spect(A_S) es un homeomorfismo en su imagen.


Es conocido que i_S^∗: Spect(A_S) →Spect(A) es una aplicación continua. Veamos que i_S^∗ es una inyección. En efecto, si i_S^∗(α_S) =i_S^∗ (β_S) (α, β ∈ Spect(A), α ∩ S = β ∩S = ∅), entonces i_S⁻¹(α_S) = i_S⁻¹(β_S), es decir α = β. Esto prueba la inyección. Recuerde que α_S =αB_S={[r/s ]= r∈α, s∈S }



Sea el espacio topológico ( i_S^∗(Spect(A_S)), τ_Z|i_S^∗(Spect(A_S))) . Veamos que la aplicación: (i_S^∗)⁻¹: (i_S^∗(Spect(A_S), τ_Z|i_S^∗(Spect(A_S)→ (Spect(A_S), τ_Z) es continua.


Sea (i_S^∗)⁻¹(α) = α_S(α ∩ S = ∅),



Dado el entorno básico X _[r/s] del punto α_S , luego X_r ∩ i_S^∗(Spect(A_S) es un entorno de α. De lo contrario r ∈ α , luego [r/s] ∈ α_S, lo que es contradictorio. Sea β ∈ X_r ∩i_S^∗(Spect(A_S), luego β = i_S^∗(γ_S) = i_S⁻¹(γ_S) = γ, por lo tanto β ∩ S = ∅. Veamos que [r/s] ∉ (i_S^∗)⁻¹(β) . De lo contrario existe [r´/s´] ∈ β_S tal que [r/s] =[r´/s´] , luego existe s´´ ∈ S talque s´´(rs´ − r´s) = 0 . Se deduce que rs´s´´ ∈ β , luego r ∈ β lo que es contradictorio. En particular si S = {1, r, r², ⋯ } (rⁿ≠0), deducimos que i_S^∗(Spect(A_r)) = X_r.

Denotaremos por X_S =i_S^∗(Spect(A_S)),

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Sea f: A → B un morfismo entre anillos conmutativos con unidad y S un conjunto
multiplicativo cerrado, tal que 0 ∉ f(S). Existe un único morfismo de anillos f_S:A_S → B_f(S) tal que f_S∘i_S=i_f(S)∘f con f_S([r/s] )=[[f(r)/f(s)]].

Demostremos que f _S* (Spect(B_f(S))) = (f* (Y_f(S)))_S.

Vamos a demostrar que f _S* (β _f(S)) = f⁻¹(β)_S (f(S) ∩ β = ∅).


En efecto, f _S*(β _f(S)) = f_S⁻¹(β _f(S)). Si f_S ([r/s] )=[[f(r)/f(s)]] ∈ β _f(S), entonces [[f(r)/f(s)]] =[[w/f(s´)]] ) (w ∈ β). Existe s′′ ∈ S, con f( s′′)(f( s′ )f(r) − f(s)w) = 0. Se deduce que f( s′′)f( s′ )f(r) ∈ β ⟾ s′′ s′ r ∈ f⁻¹(β). Por lo tanto [r/s]= [s´´s´r/s´´s´s] ∈ f⁻¹(β)_S. La otra inclusión es inmediata.



Observe que al ser β∩ f(S) = ∅, entonces f⁻¹(β∩ f(S) ) = f⁻¹(β)∩f⁻¹(f(S)) = ∅. Se deduce que f⁻¹(β)∩S=∅.∎


Sea α un ideal de A, β =α^e=Bf(α) y f^{^} :A/α →B/β definido por f^{^}(r +α) = f(r) +β . Recordemos que (𝑆𝑝ect( A/α), τ_Z) ≅ (V(α),τ_Z |V(α)) y (𝑆𝑝ect( B/β ), τ_Z) ≅ (V(β ),τ_Z |V(β )). Demostremos que (f^{^}) * (𝑆𝑝ect( B/β )) =θ_α(f * (V(β ))), donde θ_α:A→ A/α el morfismo canónico θ_α(a)=a+α .


Veamos que (f^{^}) *(γ+β )=f⁻¹(γ)+α- En efecto, tenemos que f^{^} *(γ+β )=f^{^−1}(γ+β )= {r+α: f(r)+β∈γ+β }. Existe por lo tanto x ∈γ tal que f(r) − x ∈β , luego f(r) ∈γ, lo que asegura que f^{^} *(γ+β )⊆f⁻¹(γ)+α. Por otro lado, si r+α ∈f⁻¹(γ)+α, entonces f^{^}(r+α ) = f(r) +β y como f(r) ∈γ , deducimos que f⁻¹(γ)+α ⊆ f^{^} *(γ+β ). Esto prueba lo afirmado.
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Ahora consideremos α∈Spect(A) y S=A−α y el morfismo f_S:A_S → B_f(S) . De igual manera, el morfismo f_S^{^}:A_S/αA_S → B_f(S) /α^eB_f(S) ((αA_S). Por el resultado estudiado anteriormente f_S^{^} * ( B_f(S) /α^eB_f(S) )= θ_αAS(f_S * (V(α^eB_f(S)))).

Se quiere demostrar que dado α∈Spect(A) , existe un homeomorfismo, entre ( (f * )⁻¹(α ), τ_Z|(f * )⁻¹(α )) y (Spect (B_f(S) /α^e_f(S)),τ_Z) (S=A-α). Para ello vamos a definir φ:(f * )⁻¹(α ), τ_Z|(f * )⁻¹(α )) →Spect (B_f(S) /α^e_f(S)) por φ(γ)=γ_f(S)/α^e_f(S). Usando el hecho de que f⁻¹(γ)=α se puede probar sin dificultad que φ está bien definida y es una inyección. Además si γ_f(S)/α^e_f(S)∈ Spect (B_f(S) /α^e_f(S)) , entonces f⁻¹(γ)=α. Es decir φ es sobreyectiva y por lo tanto una biyección. Sabemos que si i_f(S):B→ B_f(S) es el morfismo i_f(S)(b)=[[b/1]], entonces i_f(S)^∗: Spect(B_f(S)) →Spect(B) es un homeomorfismo de en su imagen. Por otro lado si θ _f(S):B_f(S)→B_f(S) /α^e_f(S) el morfismo canónico θ _f(S)([[b/f(s)]]+α^e_f(S), entonces θ _f(S)^∗(Spect(B_f(S)))=V(α^e_f(S)) y θ _f(S) es un homeomorfismo en su imagen. Por un cálculo directo se comprueba que φ= ( θ _f(S)^∗)⁻¹ ∘(i_f(S)^∗)⁻¹|(f * )⁻¹(α ) de lo que se deduce el homeomorfismo.


Finalmente, recordemos que si S=A−α con α un ideal primo de A, entonces A_S es un anillo local con α_S su único ideal máximal, por lo tanto k(α)= A_S/α_S es un cuerpo llamado cuerpo residual. Además es conocido que k(α)≅A/α⊗_AA_S (isomorfismo de A-álgebras). Además B⊗_Ak(α) ≅(B⊗_A A/α)⊗_AA_S≅(B/αB)_S y como αB=α^eB, luego (B/αB)_S=(B/α^eB)_S y como (B/α^eB)_S ≅ B_f(S) /α^eB_f(S) (isomorfismo de anillos), se deduce que Spect( B⊗_Ak(α) )≅spect(B_f(S) /α^eB_f(S) )≅(f * )⁻¹(α ) ( homemorfismo topológico) y es lo que se conoce como la fibra de f sobre α.



NOTA

Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios de anillos y módulos de fracciones, del capítulo 3 del libro de M.F. Atiyah, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverté. 1978.