CONJUNTOS DE TIPO F σ

En un espacio topológico (X,τ) uno dice que A⊂X es un conjunto F _σ , si A=∪_n≥1F_n donde cada F_n es cerrado. Se quiere exhibir un ejemplo de este tipo de conjuntos en el espacio euclideo Rⁿ .

Sea I=[ a₁,b₁]×...×[ a_n,b_n] un rectángulo cerrado en Rⁿ y f:I ⟶R una función acotada. Dado A ⊂I, se define la oscilación f en A. como el número w_f(A)=sup{f(x) –f(y): ∀ x,y ∈A }.

Demostremos las siguientes afirmaciones:

(a) 0 ≤ w_f(A) ≤ 2 ||f|A||_∞ y si A ⊂ B, entonces w_f(A) ≤ w_f(B) .

Sea M = sup{f(x) –f(y): ∀ x,y ∈A } . Como f(x) –f(y), f(y) –f(x) ∈ M , entonces 𝑠up(M) = w_f(A) ≥ 0 . Por otro lado, si f(x) –f(y)∈ M , entonces f(x) –f(y) ≤ |f(x) –f(y)| ≤|f(x) |+|f(y)| ≤ ||f|A||_∞+ ||f|A||_∞ = 2 ||f|A||_∞ . Es claro que si A ⊂ B, entonces w_f(A) ≤ w_f(B) .∎

(b) Si c ∈ I, se define la oscilación de f en c como el número w_f(c) =infw_f(N_δ) donde N_δ = I⋂B_c(δ) con B_c(δ) ={x ∈I: ||x− c||<δ } . Demostremos que lim_δ→0w_f (N_δ)=w_f(c) y si w_f(c) < α, existe N_δ con w _f (N_δ)< α .

Sabemos que w_f(A) ≤ 2 ||f|A||_∞ ≤ 2 ||f||_∞ , por lo tanto w_f(c) <+∞. Sea ε y α= w_f(c)+ ε >w_f(c), luego existe N_δ0 tal que w_f(c)+ ε >w_f(N_δ0)≥w_f(c). Si 0 <δ ≤ δ₀ , luego N_δ⊂ N_δ0 y por lo tanto w_f(c)≤w_f(N_δ)≤ w_f(N_δ0) ≤ w_f(c)+ ε , lo que prueba que lim_δ→0w_f (N_δ)=w_f(c) .∎


(c) Sea f:I ⟶R una función acotada. Veamos que f es continua en c ∈ I, si y sólo si, w_f(c)=0.


Si f es continua en c, dado ε> 0, existe un δ > 0, tal que si ||x− c| |<δ con x∈ I , entonces |f(c) − f(x)| <ε . Sea δ ₀ =δ /2, luego w_f (N_δ0)<ε y por lo tanto w_f(c) ≤ε y como ε es arbitrario, se deduce que w_f(c) =0.

Supongamos ahora que w_f(c) =0. Si ε> 0 entonces existe N_δ0 tal que w_f (N_δ0)<ε , luego si 0 <δ < δ₀, tenemos que w_f (N_δ ≤ w_f (N_δ)<ε . Deducimos de esto que si |x−c| <δ con x∈I, entonces |f(c)− f(x)| < ε .∎

(d) Sea f:I → R una función acotada y supongamos que w_f(c) <α . Veamos que existe δ > 0 tal que si A ⊂ I y su diámetro d(A) =sup{x –y: ∀ x,y ∈A }<δ ; , entonces w_f(A) <α.


Como w_f(c) <α, entonces existe N_{δ x}= B_x(δ )⋂I tal que w_f(x) ≤ w_f( N_{δ x}) <α, y como las bolas abiertas B_x(δ /2) cubren al compacto I, entonces I =N_{δ x 1}⋃⋯⋃N_{δ x m} . Supongamos que δ=min(δ _{x 1}/2,...,δ _{x m}/2) y dim(A) < δ , luego si x, y ∈ A , tenemos que x ∈N_{δ x k}. Como ||y −x _k|| ≤||x −x _k|| +||x −y|| < δ +δ _{x k}/2<δ _{x k} y por lo tanto |f(x) − f(y) < α . Esto prueba lo pedido.∎

(e) Finalmente veamos que D_α ={x ∈ I: w_f(x) ≥α } ( α> 0) es cerrado. Deducir que D ={ x ∈ I: f no es continua en x } = ⋃_n≥1D_1/n . Concluya que D es F_σ .


Sea x ∈ I −D_α , luego w_f(x) <α , por lo tanto existe N _δ tal que w_f( N _δ)<α, donde N _δ = B _x(δ)⋂I. Si y ∈ B _x(δ)⋂I , existe N _γ = B _y(γ)⋂I⊂B _x(δ)⋂I y como w_f( N _y) ≤w_f( N _δ) , demuestra que I − D es abierto. Es claro que ⋃_n≥1D_1/n ⊂ D. Por otro lado, si x ∈ D, entonces w_f(x) ≠ 0, luego existe 1/n< w_f(x), se deduce la otra inclusión. Como cada D_1/n es cerrado deducimos que D es F_σ .∎


NOTA. Es importante señalar que este trabajo es solución al proyecto Oscilaciones del capítulo Funciones Continuas del libro: Análisis Matemático de Robert G. Bartle. Editorial Limusa. 1980.