Si A es un subconjunto acotado de Rⁿ, se dice que A tiene contenido cero, si dado ε>0, existe un cubrimiento de rectángulos cerrados I₁ , ... , I_m para A, tal que c( I₁) + ... + c(I_m)< ε. Aquí c(I_i)=v(I_i) (volumen del rectángulo). Si I es un rectángulo cerrado en Rⁿ tal que A⊂ I, se define c(A)=∫ _A1==∫ _IX_A (integral de Riemann) donde suponemos que esta integral existe para X_A la función definida por: X_A(x)=1, ∀ x∈A ; X_A(x)=0, ∀ x∈I− A. Esta integral no depende del rectángulo cerrado elegido conteniendo a A. Diremos que A tiene contenido y que su contenido c(A) es la integral definida anteriormente.

En general si f:A→R es una función acotada, se define ∫ _Af==∫ _If_A (integral de Riemann) donde suponemos que esta integral existe para f_A la función definida por: f_A(x)=f(x), ∀ x∈A ; f_A(x)=0, ∀ x∈I− A. Dos resultados fundamentales valen para esta teoría: (1) c(A)=. si y solo sí, A tiene contenido cero (2) c(A) existe. si y sólo si, la frontera b(A) de A tiene contenido cero. Usaremos libremente las otras propiedades del contenido y las de la integral de Riemann.

Si A es un subconjunto acotado de Rⁿ, se define su contenido de Jordan exterior c ^* (A) como el ínfimo de las sumatorias c( I₁) + ... + c(I_m), tales que I₁ , ... , I_m es un cubrimiento de A con I_i∩A ≠∅ , ∀ i=1,2,...,m. De igual manera, definimos el contenido de Jordan interior c _* (A) como el supremo de las sumatorias c( I₁) + ... + c(I_m), tales que I_i⊂A, ∀ i=1,2,...,m.

2.1 Si A es un subconjunto acotado de Rⁿ que tiene contenido, entonces A⁰=A −b(A) y su clausura A^—=A ∪ b(A) tienen contenido y en este caso c(A)=c(A⁰)=c(A^—).

Sólo hay que demostrar que la frontera de A⁰ y la de A^— es de contenido cero. Esto es evidente ya que b(A −b(A) )≤b(A)+b(B) y de manera análoga b(A ∪ b(A))≤b(A)+b(B). Sólo resta probar las igualdades.

Como c(A ∪ b(A))=c(A)+c(b(A))−c(A∩b(A)) y c(A∩b(A))=c(b(A))=0, se deduce que c(A ∪ b(A))=c(A).

Como A=A⁰∪ b(A)∩A, y c(A⁰∪ b(A)∩A)=c(A⁰)+c( b(A)∩A), y c(A∩b(A)=c(b(A))=0, se deduce que c(A⁰)=c(A).

2.2 Si A es un subconjunto acotado de Rⁿ que tiene contenido no negativo, entonces existe un rectángulo I que es subconjunto de A, tal que v(I)=c(I)≠0.

De lo contrario A⁰=∅ y por lo tanto A⊂b(A). Esto asegura que c(A)=0, lo que es contradictorio.

2.3 Demostremos que si A es un subconjunto acotado de Rⁿ, entonces c ^* (A)=c _* (A), si y sólo si, c(A) existe y en tal caso c(A)=c ^* (A)=c _* (A).

Supongamos primero que c^* (A)=c_*(A).

Vamos a demostrar que c ^* (A) − c _* (A) =c ^* (b(A))

Considere una familia de rectángulos cerrados I₁ , ... , I_m que cubre a b(A) y tales que de b(A)∩I_i≠∅ . Podemos hallar un rectángulo I que contenga a I₁∪. ... ∪ I_m, A y b(A). De igual manera podemos hallar una partición P de I, tal que cada rectángulo I_i se escribe como una unión finita de rectángulos de la partición P.

Como c(I₁)+....+c(I_m)≥Σ_{J∈P, J∩A≠∅}c(J) − Σ_{J∈P, J⊂A}c(J)≥ c ^* (A) − c _* (A)

Se deduce que c ^* (b(A))≥ c ^* (A) − c _* (A)

Para ver la otra desigualdad, considere ε > 0. Existe I₁ , ... , I_m una familia de rectángulos cerrados que cubren a A y tales que I_i∩A ≠∅ y una familia de rectángulo cerrados J₁ ,... , J_k contenidos en A, tales que c(I₁)+....+c(I_m)< c ^* (A) + ε y c _* (A) − ε <c(J₁)+....+c(I_k).

Sea ahora un rectángulo cerrado I que contenga ambas familias de cerrado, y una partición P de I, tal que cada , I_i, J_s se escriban como unión finita de miembros de P. Entonces

c ^* (b(A)) ≤ Σ_{J∈P, J∩b(A)≠∅}c(J)≤ Σ_{J∈P, J∩A≠∅}c(J)− Σ_{J∈P, J⊂A}c(J)≤

c(I₁)+....+c(I_m) −( c(J₁)+....+c(I_k))≤

c ^* (A) − c _* (A)+2ε y como ε es arbitrario, se deduce el resultado.

Supongamos que c ^* (A) = c _* (A), entonces (c ^* (b(A))=0 y por lo tanto dado ε>0, exiaste un cubrimiento de b(A) por rectángulos cerrados I₁,...,I_m, tales que c(I₁)+...+c(I_m)< ε, luego b(A) tiene medida cero. Esto garantiza que exista ∫ _A 1. Veamos que ∫ _A 1=c ^* (A) = c _* (A). Sea I un rectángulo cerrado que contenga a A y P una partición del I. Sabemos que ∫ _A 1= ∫ _A X _A . Dados I₁ ,... , I_k los miembros de esta partición, consideremos I_i1 ,... , I_is los miembros de esta partición que cubren a A y tales que I_ij∩A ≠∅ . Sea la suma superior de Riemann

U(f,P)=∑_j=1^k M(f,I_j)c(I_j)=∑_j=1^s M(f,I_ij)c(I_ij)=∑_j=1^s c(I_ij)≥c ^* (A). Por un razonamiento análogo se demuestra que la suma inferior de Riemann L(f,P)≤c _* (A). Como U(f,P) −L(f,P)≥c ^* (A)−c _* (A), pasando a un límite en las particiones se deduce que c ^* (A) = c _* (A).

2.4 Si A y B son disjuntos, entonces c ^* (A∪B)≤c ^* (A)+c ^* (B)

Consideremos las familias, I₁ ,... , I_k cubrimiento de A fijo, con I_i∩A ≠∅ y J₁ ,... , J_s cubrimiento de B con J_i∩B ≠∅. Es claro que I₁ ,... , I_k, J₁ ,... , J_s es un cubrimiento de A∪B con I_i∩(A∪B) ≠∅ y I_i∩(A∪B) ≠∅, luego

c ^* (A∪B)≤ c(I₁) +... + c( I_k)+c(J₁)+ ...+ c(J_s)

c ^* (A∪B) − (c(I₁)+ ... + c( I_k))≤ c(J₁)+ ...+ c(J_s)

Se deduce que c ^* (A∪B) − c(I₁)+ ... + c( I_k)≤ c ^* (B)

c ^* (A∪B) −c ^* (B) ≤ c(I₁)+ ... + c( I_k).

Al variar los I_i se obtiene

c ^* (A∪B) −c ^* (B) ≤ c ^* (A).


Si consideramos A Y B disjuntos cada uno con c(A)=c(B)=0, entonces c(A∪B)=0 y en este caso obtenemos que c ^* (A∪B)= c ^* (B) =c ^* (A∪B).

2.5 Supongamos que I sea un rectángulo en Rⁿ y f:I→R se una función acotada e integrable según Riemann. Si A⊂I tiene contenido, entonces existe ∫_Af|A.

Como c(b(A))=0, dado ε> 0, existe un cubrimiento por rectángulos cerrados I₁, ... ,I_k de A, tales que I_i∩(b(A)) ≠∅ con c(I₁) +... + c( I_k)<ε/(2||f||_∞ ) donde ||f||_∞=sup_x∈I|f(x)|. Además como b(A)⊂I, se puede suponer que cada I_i está contenido en I.

Llamemos g=f|A:A→R con g(x)=f(x), ∀ x∈A. Como g es integrable sobre A, existe la integral de Riemann ∫_Ig_A, donde g_A(x)=g(x)=f(x), ∀ x∈A y g_A(x)=0, ∀ x∈I− A. Por otro lado, existe un partición P_ε , tal que si P es un refinamiento de P_ε , entonces Σ_J∈P(M(f,J)−m(f,J))c(J)≤ε/2. Podemos suponer que P_ε es tal que cada rectángulo I_i se escribe como unión finita de rectángulos de P_ε .

Ahora Σ_J∈P(M(g_A,J)−m(g_A,J))c(J) =

Σ_J⊂A⁰(M(g_A,J)−m(g_A,J))c(J) + Σ_{J∩b(A) ≠∅}(M(g_A,J)−m(g_A,J))c(J)≤.

Σ_J⊂A⁰(M(f_A,J)−m(f_A,J))c(J) +Σ_i(M(f_A,J)−m(g_A,J))c(I _i)≤ε/2+2ε||f||_∞/(2||f||_∞ )=ε.

Se deduce lo afirmado

NOTA. Estas notas son la resolución de los ejercicios sobre contenido de Jordan, de la sección "Contenido e Integral", del capítulo de Integración del libro "Introducción al Análisis Matemático" de Robert Bartle. Limusa. 1992.