FUNCIONES ANALÍTICAS
FUNCIONES ANALÍTICAS
Es claro que ω(x1, x2) = ω1(x1, x2)e1* + ω2(x1, x2)e2, siendo { e1, e2* } la base dual de la base canónica {e1, e2 } del espacio euclideo R2, con ωk: U → R (k = 1, 2) funciones reales.
Si πk: R2→ R (k = 1, 2) son las aplicaciones proyecciones (π1(x1, x2) = x1, π2(x1, x2) = x2) es claro que ellas son diferenciables y dπk = πk = (ek)* = dk (k = 1,2).
Sea C el cuerpo de los números complejos. Es claro que C tiene una estructura natural de espacio vectorial real y la aplicación φ: C → R2 dada por φ(x + iy) = (x, y) es un isomorfismo de espacios vectoriales reales. Es más si consideramos en ambos espacios las métricas d((x, y),(x´,y´)) =√(x—x´)2 +(y—y´)2)= d´(x + iy,x+iy´) entonces φ es adicionalmente un isomorfismo topológico.
Ahora supongamos que f: U → R2 es una aplicación diferencial sobre un
abierto U de R2. Sabemos que si f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)), entonces
Además
En la identificación compleja
Por lo tanto
(Forma diferencial compleja)
Si definimos
entonces
Si z=x+iy, entonces dz=dx+idy.
Como x=(z+z–)/2 (z–=x–iy) , deducimos que
Definimos
Finalmente
Diremos que una función f: U → C continua, donde U es un abierto de C, es analítica en U si
En este caso escribiremos f ∈ H(U).
La ecuación
se le llaman ecuaciones de Cauchy-Riemman, ya que de lo anterior deducimos
luego
de lo que se obtienen las ecuaciones
(Ecuaciones de Cauchy-Riemman)
Supongamos que f ∈ H(U)) y z0∈, U, Veamos que existe limh→0(f(z0+h)−f(z))/h = f´(z0) .
Sea z0 = ( x0, y0) y h=( h1, h2) . Como
Deducimos las ecuaciones
donde
Tenemos de lo anterior
Se deduce
Por lo tanto
Supongamos ahora que existe
luego
Se deduce que
(una homotecia que garantiza diferenciabilidad).
Tomando
Se deducen las ecuaciones de Cauchy-Riemman.
FUNCIONES ARMÓNICAS
Supongamos que f ∈ H(U) con f ∈ C2(U), es decir las derivadas parciales hasta de orden 2 , existen y son continuas. Como f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemman, entonces
y por lo tanto
de lo que se deduce que
(operador de Laplace)
En general, si u ∈ C2(U) (función real) es tal que
diremos que u es armónica.
Si u, v ∈C2(U) (funciones reales) son armónicas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemman, diremos que son armónicas conjugadas. Es claro que si f ∈ H(U) con f = u + iv , entonces u, v son armónicas conjugadas.
Ejemplo: (a) Considere las funciones reales u(x, y) = x2 − y2, v(x, y) =
2xy , Como
valen las ecuaciones de Cauchy-Riemman y por lo tanto son armónicas conjugadas.
(b) Sea
Esta función no es analítica en el plano complejo ya
que no valen las ecuaciones de Cuchy-Riemman, pues:
Como
ambas funciones reales son armónicas conjugadas en todo el plano complejo.
Terminamos con el siguiente resultado:
Sea
una función analítica, donde U es un abierto conexo. Si
entonces f es constante.
Como f=u+iv con
por lo tanto
pero
Al ser U un abierto conexo, sabemos del cálculo diferencial que u es una función constante. Análogo resultado vale para v. Esto prueba lo afirmado.
EJERCICIOS
1.Ver que las funciones f(z) y
son simultaneamente analíticas
Solución. Sea f analítica y definamos
Viéndola como una función de dos variables
sólo hay que demostrar que se satisfacen las ecuaciones de Cauchy Riemman, para las componentes de g . Es directo ver, usando la regla de la cadena que
Lo que prueba lo afirmado.
Supongamos ahora que
es analítica, luego
lo que dice que f es analítica.
2.-Hallar las ecuaciones de Cauchy-Riemman en coordenadas polares.
Solución. Sean
Sabemos que
Sustituyendo
Se deduce
De manera similar se prueba
3.-Sea el polinomio
Hallar condiciones de los coeficientes para que el polinomio sea una función armónica. De igual manera, para que el polinomio tenga una armónica conjugada.
Solución. Para que u sea armónica debe satisfacer la ecuación de Laplace .
Como
Se deduce que
Por otro lado, si v(x,y) es es armónica conjugada para u(x,y) , entonces
Luego
4.-Hallar la ecuación de Laplace en coordenadas polares
Solución. Sea
y denotemos por
luego
Pero
Por lo tanto
