MÉTRICA CORDAL

^{Proyección Estereográfica}

Sea la esfera S ={ ( x₁, x₂, x₃): x₁²+x₂²+ x₃³=1} y consideremos la aplicación

φ:S —{(0,0,1)}→C definida mediante

Vamos a demostrar que φ es una biyección

Observemos que si

entonces

De lo que se deduce que

Por otro lado

Si z = x + iy y definimos

es directo demostrar que φ⁻¹ = ψ. Se dice que φ es la proyección estereográfica.

^{Métrica Cordal}

Sea C_∞ = C ∪ {∞} el plano complejo ampliado.

Consideremos z = x + iy, z´ = x´ + iy´ y sus correspondientes

Se define

Tenemos que

Usando (*)

Para z´ = ∞

Se dice que d_∞ es la métrica cordal sobre el plano complejo ampliado.

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^{Compactificación por un puno de la esfera}

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Veamos que (C_∞ , d_∞ ) es un espacio métrico compacto. Primero notemos, que si en C_∞ consideramos la familia τ: (1) Cada abierto U de C de la topología inducida por su norma euclidea, es un miembro de τ. (2) Cada U ⊂ C_∞ tal que C − U es compacto en la topología euclidea sobre C , es un miembro de τ; entonces (C_∞ , τ) es una compactificación por un punto o de Alesandroff de C.

Lo anterior sale por el hecho de ser C con la topología inducida por su norma euclidea un espacio de Hausdorff localmente compacto. Un hecho interesante es que para un abierto U de tipo (2), existe ɛ > 0 con U _ε ={z ∈ C: |z| > ε} ∪ {∞} ⊂ U. Es decir U _ε es una base de entornos de ∞. En efecto, C − U=L es compacto, luego es acotado, es decir existe ε> 0, tal que |z| ≤ ε, ∀ z ∈ L. Se deduce que U _ε⊂ U.

Ahora consideremos la aplicación γ:: (C_∞ , τ) → (S, τ_d∞ ) (τ_d∞ es la topología dada por la métrica cordal) , definida mediante:

γ(∞) = (0,0,1).
Veamos que γ es un homeomorfismo topológico. Como γ es una biyección y (C_∞ , τ) compacto sólo hay que demostrar que γ es continua.

Sea la bola abierta B_γ(z)(ε) . Si

entonces para |z −z´| < δ tenemos que

lo que demuestra la continuidad en z ∈ C.

Supongamos ahora que z = ∞ y sea B_γ(∞)(ε), Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que 0 < (ε/2 )²—1. Se quiere hallar un U_δ = {z ∈ C: |z| > δ }∪ {∞ } , tal que γ( U_δ) ⊂B_γ(∞)(ε). Es decir

luego

Se sigue la continuidad en z = ∞ y por lo tanto lo afirmado. Como

por ser C_∞ compacto, deducimos que la esfera de Riemman es la compactificación por un punto del plano complejo C.

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^Ejercicios

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1.-Demostrar que z, z´ ∈ C corresponden a puntos diametralmente opuestos en la esfera de Riemman, si y sólo si, zz´^— =− 1.

Solución.
Supongamos que ( x₁, x₂, x₃), ( w₁, w₂, w₃) ∈ S − (0,0,1) con ( w₁, w₂, w₃) = ( −x₁,− x₂, −x₃)
Si

entonces

Supongamos que z = x + iy, z´ = x´ + iy´ con zz´^— =− 1. Tenemos que

2. -Hallar el radio de la imagen esférica del circulo de centro a y radio R.
Solución.

Supondremos que x² + y² = R²

3. -Demostrar que circunferencias en la esfera se trasforman a través de
la proyección estereográfica en rectas o círculos en el plano complejo y
recíprocamente.

Solución.

Supondremos primero que ∆ = S ∩ π, π: ax₂ + bx₂ + cx₃ =d.

Sea z = x + 𝑖y, entonces

Si c = d, obtenemos la ecuación de una recta ax + by = d + c

En caso contrario, la circunferencia:

Recíprocamente, supongamos que tenemos la ecuación de una recta ax + by = d

Luego

Si L: ax + by = d, entonces ψ(L) = S ∩ π, π: ax₂ + bx₂ + cx₃ =d.

Consideremos ahora la circunferencia

Si z = x + iy, w = w₁ + iw₂ , como

en la proyección estereográfica inversa, entonces

luego

Definen los puntos de un plano sobre la esfera de Reimman, lo que prueba lo pedido.

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^Referencias

Lars W. Ahlfors: Complex Analysis. McGraw-HillCompany. 1966
James R. Munkres: Topología. Prentice Hall. 2002.

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