PRINCIPIO DEL MÓDULO MÁXIMO EN ESPACIOS EUCLIDEOS

Si f: Ω → R es una función, tal que Ω es un abierto del espacio euclideo Rⁿ con f continuamente diferenciable de orden 2; entonces si c ∈Ω es un máximo relativo para f y φ: Rⁿ → R es la forma cuadrática




se tiene que

El siguiente lema es fundamental para la demostración del principio

de modulo máximo.


Lema. Sea Ω un abierto del espacio euclideo Rⁿ y B(a,r ) = {x∈Rⁿ : ||x −a||≤ r} con B(a,r)⊂ Ω y c∈ B(a,r) con ||c −a||<r. Sea f: Ω → R una función continuamente diferenciable de orden 2 tal que f(c) > sup {f(x): ||x − a||)=r } = m . Si g : Ω→ R se define mediante

entonces g(c) = M, mientras que g(x) <M ∀ ||x −a||=r, por lo tanto g restringida a B(a,r) alcanza su máximo relativo en un punto c₁ con || c₁ −a|| < r donde

Demostración. Es claro que g(c) = M y como

se deduce la primera parte.


Sea ahora el punto c₁ con ||c₁−a|| < r donde g alcanza su máximo en B(a,r), como

Evaluando para (1,1,...,1) , se deduce

Termina la prueba.∎


Recordemos que si A ⊂Rⁿ , un punto a ∈ Rⁿ es un punto frontera de A, si para cualquier bola cerrada B(a, r), entonces B(a, r) ∩ A ≭ ∅ y B(a, r) ∩(Rⁿ − A) ≭ ∅. Por b(A) denotamos todos los puntos frontera de A. La cerradura o clausura de A es el conjunto A^— = A ∪ b(A).

Teorema. (Principio del módulo máximo) Sea Ω un abierto conexo acotado del espacio euclideo Rⁿ. Si f: Ω^— → R es una función continuamente diferenciable de orden 2 en Ω, no constante en Ω^— y armónica en Ω, es decir

entonces f alcanza su máximo y mínimo en la frontera de Ω .


Demostración. En efecto, por ser f continua sobre el compacto Ω^— , alcanza su máximo y mínimo en Ω^—= Ω∪ b(Ω), Supongamos que el máximo se alcanza en c ∈ Ω , veamos que esto conduce a una contradicción. Existe una bola cerrada B(c, r) ⊂ Ω. Si existe 0 < s ≤ r tal que f(c) = M >f(c) > sup {f(x): ||x − a||)=r } = m, entonces por el lema anterior, existe c ₁∈Ω tal que

Lo que contradice que que f sea armónica en Ω. De lo contrario f(x) = f(c), ∀ x ∈ B(c, r) . Sea A= {x ∈Ω : f(x) = f(c) . Es claro que A ∩ Ω es un cerrado en Ω. Vamos a demostrar que A es abierto en Ω. . Como x es un punto de máximo de la función y está en Ω, usando el mismo argumento anterior para c, llegamos a que existe una B(x, s) ⊂Ω, tal que la función es constante, esto prueba lo afirmado. Por ser Ω conexo entonces A =Ω, lo que es contradictorio. Se prueba el resultado para el caso de máximo. Para el caso de mínimo, considere la función armónica −f.∎



Corolario. Sea Ω un abierto conexo acotado del espacio euclideo Rⁿ. Si f, g:Ω^— → R son funciones continuamente diferenciables de orden 2, no constantes y armónicas, tales que coinciden en la frontera, entonces son iguales.



Demostración. Aplique el teorema anterior a la función f − g. ∎



NOTA Es importante referir que este trabajo es la resolución de los ejercicios 42V y 42W de la sección 42 del libro Introducción al Análisis Matemático de Robert G. Bartle. Editorial Limusa. 1992.