SUBESPACIOS INVARIANTES PARA OPERADORES COMPACTOS
SUBESPACIOS INVARIANTES PARA OPERADORES COMPACTOS
(TÉCNICA DE HILDEN)
Recordemos que si X es un espacio de Banach y T ∈ B(X), un subespacio M de X se dice invariante para T, si T(M) ⊂ M. Es decir M∈ LatT. Por A(T) ⊂ B(X), entenderemos: A(T) = {S ∈ B(X) : S ◦ T = T ◦ S}, es decir los operadores que conmutan con T y por eso diremos que A(T) es el conmutante de T. Si M∈ LatS para todo S A(T), se dice que M es hiperinvariante para T.
Dado x ∈ X (x ≠ 0 ), definimos A x={ A(x): A ∈ A(T)} —. Se tiene que A x es un subespacio hiperinvariante. En efecto, si w = S1(x) con S1∈ A(T) y S ∈ A(T), es claro que ( S◦ S1)(x) ∈ A x .
Estamos interesados en ver, si existe x ∈ X tal que A x ≠ X, lo que garantizaría subespacios hiperinvariantes no triviales para T.
Teorema . (Lomonosov) Si X es un espacio de Banach y T ∈ B(X) es un operador compacto, entonces T tiene subespacios hiperinvariantes no triviales.
Demostración (Hilden). Si σ(T) ≠ {0}, luego σ(T)−{0} = σp(T) −{0} y dado λ ∈σp (T)−{0} es inmediato ver que N(λI − T) =Ker(λI − T) ∈ LatA(T) y es un hiperinvariante para T. Supongamos por lo tanto que σ(T) = {0}. Es decir el operador T es casi nilpotente, por lo tanto limn→+∞||Tn||1/n= 0.
Sin pérdida de generalidad supondremos que ||T|| = 1 y que T no tiene subespacios hiperinvariantes no triviales. Sea x0 ∈ X, ||T(x0)|| > 1. Como ||T(x0)|| ≤ ||T|||| x0|| =||x0||, se deduce que || x0|| > 1.
Sea W = Bx0(1)={ x ∈ X: ||x − x0|| < 1} . Por ser T compacto, D = T(W)— es compacto. Como 0 ∉ W, entonces 0 ∉ D . De lo contrario, existe T(xn) → 0 en norma, pero ||T(xn) − T(x0)|| ≤|| xn − x0|| < 1 . Se deduce que ||T(x0)|| ≤ 1 lo que es contradictorio.
Para cada S ∈ A(T), consideramos la familia US = {y ∈ X: ||S(y) − x 0|| < 1 }. Es claro que cada US es un abierto en la topología de la norma.
Dado y ∈ X, y ≠ 0 , como T no tiene subespacios hiperinvariantes, tenemos que Ay= X. En particular x0 ∈Ay, es decir existe un S∈A(T) tal que ||S(y) − x0|| < 1 ⇒ y ∈ US⇒ X − {0} ⊂ ⋃S∈A(T) US ⇒ D⊂ ⋃S∈A(T) US. Por la compacidad de D, tenemos que D ⊂ US1⋃...⋃ USn
Como T(x 0) ∈ D, existe Sk1, k1∈ {1, 2, ..., n}, tal que T(x 0) ∈ U Sk1, es decir
x1 = Sk1(T(x 0) ) ∈ W.
Tenemos que x2= T(Sk1(T(x 0) )) ∈ D, luego existe un Sk2, k2∈ {1, 2, ..., n}, tal que
x3 = Sk2 (T(Sk1(T(x 0) )) ) ∈ W.
En general, podemos hallar xn+1 = (Skn◦T◦Skn −1◦T◦⋯◦T◦Sk1◦T)(x 0) ∈ W.
Pasemos a demostrar que existe ε > 0 tal que ε ≤|| x|| , ∀ x ∈ W. De lo contrario, podemos hallar zn ∈ W, zn → 0. Como ||zn − x0|| → ||x0||≤ 1, lo que es contradictorio.
Sea ahora r = máx{ ||Sk1||, ⋯, ||Skn||}. Sabemos que T conmuta con cada Ski, luego :
ε1/k ≤ ||xk||1/k ≤ r1/k ||T||1/k||x0||1/k. Pasando al límite llegamos a que 1 ≤ 0, lo que es una contradicción. Queda probado el teorema.∎
Dado x ∈ X (x ≠ 0 ), definimos A x={ A(x): A ∈ A(T)} —. Se tiene que A x es un subespacio hiperinvariante. En efecto, si w = S1(x) con S1∈ A(T) y S ∈ A(T), es claro que ( S◦ S1)(x) ∈ A x .
Estamos interesados en ver, si existe x ∈ X tal que A x ≠ X, lo que garantizaría subespacios hiperinvariantes no triviales para T.
Teorema . (Lomonosov) Si X es un espacio de Banach y T ∈ B(X) es un operador compacto, entonces T tiene subespacios hiperinvariantes no triviales.
Demostración (Hilden). Si σ(T) ≠ {0}, luego σ(T)−{0} = σp(T) −{0} y dado λ ∈σp (T)−{0} es inmediato ver que N(λI − T) =Ker(λI − T) ∈ LatA(T) y es un hiperinvariante para T. Supongamos por lo tanto que σ(T) = {0}. Es decir el operador T es casi nilpotente, por lo tanto limn→+∞||Tn||1/n= 0.
Sin pérdida de generalidad supondremos que ||T|| = 1 y que T no tiene subespacios hiperinvariantes no triviales. Sea x0 ∈ X, ||T(x0)|| > 1. Como ||T(x0)|| ≤ ||T|||| x0|| =||x0||, se deduce que || x0|| > 1.
Sea W = Bx0(1)={ x ∈ X: ||x − x0|| < 1} . Por ser T compacto, D = T(W)— es compacto. Como 0 ∉ W, entonces 0 ∉ D . De lo contrario, existe T(xn) → 0 en norma, pero ||T(xn) − T(x0)|| ≤|| xn − x0|| < 1 . Se deduce que ||T(x0)|| ≤ 1 lo que es contradictorio.
Para cada S ∈ A(T), consideramos la familia US = {y ∈ X: ||S(y) − x 0|| < 1 }. Es claro que cada US es un abierto en la topología de la norma.
Dado y ∈ X, y ≠ 0 , como T no tiene subespacios hiperinvariantes, tenemos que Ay= X. En particular x0 ∈Ay, es decir existe un S∈A(T) tal que ||S(y) − x0|| < 1 ⇒ y ∈ US⇒ X − {0} ⊂ ⋃S∈A(T) US ⇒ D⊂ ⋃S∈A(T) US. Por la compacidad de D, tenemos que D ⊂ US1⋃...⋃ USn
Como T(x 0) ∈ D, existe Sk1, k1∈ {1, 2, ..., n}, tal que T(x 0) ∈ U Sk1, es decir
x1 = Sk1(T(x 0) ) ∈ W.
Tenemos que x2= T(Sk1(T(x 0) )) ∈ D, luego existe un Sk2, k2∈ {1, 2, ..., n}, tal que
x3 = Sk2 (T(Sk1(T(x 0) )) ) ∈ W.
En general, podemos hallar xn+1 = (Skn◦T◦Skn −1◦T◦⋯◦T◦Sk1◦T)(x 0) ∈ W.
Pasemos a demostrar que existe ε > 0 tal que ε ≤|| x|| , ∀ x ∈ W. De lo contrario, podemos hallar zn ∈ W, zn → 0. Como ||zn − x0|| → ||x0||≤ 1, lo que es contradictorio.
Sea ahora r = máx{ ||Sk1||, ⋯, ||Skn||}. Sabemos que T conmuta con cada Ski, luego :
ε1/k ≤ ||xk||1/k ≤ r1/k ||T||1/k||x0||1/k. Pasando al límite llegamos a que 1 ≤ 0, lo que es una contradicción. Queda probado el teorema.∎
NOTA
Para una profundización de este resultado, el lector puede consultar las siguientes fuentes:
A. J. Michaels: Hilden´s simple Proff of Lomonosov`s Invariant Subespace Theorem.
Advances in Mathematics 25. 56-58 (1997).
Hugo García: La Extensión de V. Lomonosov del Teorema de Burnside a Espacios de Hilbert. Tesis de grado para optar al título de Licenciado en Matemáticas. Facultad Experimental de Ciencias. Universidad del Zulia.