TOPOLOGÍA FINITA SOBRE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Sean E y F espacios vectoriales sobre un cuerpo k y B(E, F) el espacio vectorial de las transformaciones lineales de E en F . Dados { x₁,..., x_n }⊂ E y { y₁,..., y_n }⊂ F, definimos O( x_i, y_i) ={ T∈B(E,F): T(x_i)=y_i}. Se quiere demostrar que la familia O( x_i, y_i) es una base β de una topología τ en B(E, F), que llamaremos la topología finita. En efecto, sean O( x_i, y_i) (I=1,2,...,n) y O( a_j, b_j) (j=1,2,...,m) y dos miembros de β. Si T ∈ O( x_i, y_i) ∩ O( a_j, b_j) luego T∈ O(c_s, d_s) donde c₁ = x₁, ⋯, c_n = x_n, c_n+1 = a₁, ⋯. c_n+m = a_m y d₁ = y₁, ⋯, d_n = y_n, d_n+1 = b₁, ⋯. d_n+m = b_m y recíprocamente.

Es claro que O( x_i, y_i) puede ser vacío. Ahora consideremos sin pérdida de generalidad que en { x₁,..., x_n } , los vectores x₁,..., x_r (1≤ r≤ n) son los únicos linealmente independientes, luego x_k = α_k1 x₁ + ⋯ + α_kr x_r ((r + 1) ≤ k ≤n ) . Por lo tanto T(x_k) = α_k1T( x₁) + ⋯ + α_kr T(x_r )((r + 1) ≤ k ≤n ) . Esto asegura que O( x_i, y_i)= O( x_j, y_j) (j=1,2, ⋯, r).


Teroema 1. Si E es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces la topologia finita τ sobre B(E, F) es la topología discreta.


Demostración. Por hipótesis dim(E) = n. Hay que demostrar que para cada T ∈ B(E, F) , { T } es un abierto. Sea e₁,...,e_n una base de E y consideremos O( e_i, T(e_i) . Es claro que si A ∈O( e_i, T(e_i)), entonces A(e_i) = T(e_i), ∀ i = 1, ⋯, n y por lo tanto A = T. Esto dice que O( e_i, T(e_i))= { T } .

Teorema 2. Si E es un espacio vectorial de dimensión infinita, entonces en la topologia finita τ sobre B(E, F), los puntos no son abiertos.


Demostración. Como E es un espacio vectorial de dimensión infinita. Veamos que cada O( x_i, y_i) tiene más de un elemento. Ya dijimos que podemos suponer que los x₁,...,x_n son linealmente independiente, existe por lo tanto una base γ ={ e_i: i ∈I} con el conjunto de índices I de cardinal infinito , tal que { x₁,..., x_n } ⊂γ . Sea T∈ O( x_i, y_i) y consideremos x _n+1 ∈ γ− { x₁,..., x_n } . Definimos A( x_i) = T( x_i) (i = 1,2, ⋯, n) , A( x_n+1) =0 si T( x_n+1) ≠ 0, A( x_n+1) =y (y ∈F, y ≠ 0) si T( x_n+1) = 0 y finalmente A(x) = T(x), ∀ x ∈ γ −{ x₁,..., x_n,x_n+1 } . Es claro que A ∈ O( x_i, y_i) con A ≠ T. Esto prueba el resultado.



Teorema 3. Dado el espacio topológico (B(E, F),τ) , entonces (B(E, F), + ) es un grupo topológico. Si F = E, entonces (B(E, E), ∙ ) es un grupo topológico.

Demostración. Sean A, B ∈ B(E, F), Se quiere demostrar que la aplicación φ: B(E, F)× B(E, F) → B(E, F), φ(A, B) = A + B es continua, donde es claro que B(E, F)× B(E, F) está provisto de la topología producto. Sea A + B ∈ O( x_i, y_i) y consideremos O( x_i, A(y_i))×O( x_i, B(y_i)), Como y_i= A(x_i) + B(x_i) es fácil ver que φ( O( x_i, A(y_i))×O( x_i, B(y_i)))⊂O( x_i, y_i) .

Ahora supongamos que E = F y definamos ω: B(E, F)× B(E, F) → B(E, F), ω(A, T) = T∙ A . Sea T∙ A ∈O( x_i, y_i) y consideremos O( x_i, A(y_i))×O( A(x_i), T∙ A(y_i)) entorno de (A,T). Si (X,Y)∈ O( x_i, A(y_i))×O( A(x_i), T∙ A(y_i)) luego Y∙ X(x_i) = Y(A(x_i))= T∙ A(x_i)))=y_i. Esto afirma que ω( O( x_i, A(y_i))×O( A(x_i), T∙ A(y_i)))⊂O( x_i, y_i) .

Ejemplo 1. Sea E un espacio vectorial sobre k y de dimensión infinita numerable. Dada una base { e_s: s≥1} consideremos A ∈ B(E, E) con A(e_s) =α_se_s ( α_s∈k , s ≥ 1) la transformación lineal diagonal. Sea el anillo de polinomios k[A ] ={∑_s=0ⁿβ _sA^s: β _s∈k, n≥0} . Estudiemos la clausura topológica de k[A ] en la topología finita . Primero observemos que si B ∈ B(E, E) , la familia de los abiertos O( e_i, B(e_i)) (i = 1,2, ⋯, n con n ≥ 1) constituyen una base de entornos del punto B . Sea ahora B ∈k[A ] ^— (clausura topológica en la topología finita) y sea un entorno de B de la forma O( e_i, B(e_i)) (i = 1,2, ⋯, n). Si existe T ∈ k[A ] tal que T ∈ O( e_i, B(e_i)), entonces T(e_i) = B(e_i) donde T = ∑_s=0ⁿβ _sA^s. Es decir T(e_i)=(∑_s=0ⁿβ _sA^s)(e_i) =∑_s=0ⁿβ _sα_i^se_i=p(αⁱ)e_i donde p= ∑_s=0ⁿβ _sX^s donde p es un polinomio con coeficientes en k.

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Antes de demostrar el resultado principal en estas notas, recordemos que un espacio topológico (Ω,τ₀) es un espacio T₁, si los puntos son cerrados. Se dice que (Ω,τ₀) es un espacio totalmente disconexo, si cada componente conexa que contiene a un punto, se reduce a dicho punto. Tenemos el siguiente lema fundamental:

Lema 1. Si (Ω,τ₀) es un espacio topológico T₁ y cada punto de Ω tiene una base de entornos abiertos cerrados, entonces (Ω,τ₀) es totalmente disconexo,

Demostración. Sea x ∈Ω y C_x la componente conexa con x∈C_x . Se quiere demostrar que C_x={ x }. De lo contrario existe y∈C_x−{ x }, luego por ser el espacio topológico Ω T₁, existe un abierto U con y∈U, x∉U. Por la otra hipótesis existe un abierto cerrado V con y∈V ⊂U. Como C_x es conexo y C_x∩V ⊂C_x, se deduce que C_x∩V=C_x⊂V, luego x∈V. lo que es contradictorio.

Teorema 4. Los abiertos básicos O( x_i, y_i) son también cerrado en la topología finita y por lo tanto el espacio topológico (B(E,F),τ) es totalmente disconexo,

Demostración. Veamos que B(E,F) con la topología finita es T₁. En efecto, si A, T ∈B(E,F) con A≠ T existe x∈E con T(x)≠A(x). Es claro que A∉O(x,T(y)) lo que prueba lo afirmado. Veamos ahora que los O( x_i, y_i) forman una familia de cerrados . Sea T∉ O( x_i, y_i) (x₁,...,x_n linealmente independientes). Existe un x_j tal que T(x_j) ≠ y_j. Sea O( x_i, T(x_i)) ( i=1,2,...,n ). Es claro que O( x_i, T(x_i)) ∩O( x_i, y_i) =∅. Esto asegura lo dicho. Por otro lado , ya sabemos que si T ∈B(E,F) los abiertos básicos O( x_i, T(x_i )) constituyen una base de entornos abierto cerrado de T. Se aplica el resultado anterior.


REFERENCIAS

1.-N. Jacobson: Lectures in Abstract Algebra. II Linear Algebra. Editorial Board. 1952.

S. Willard: General Topology. Addison -Wesley. 1968.