BREVES MATEMÁTICOS (MÓDULOS DE TORSIÓN)

Consideremos un dominio de integridad A y M un módulo sobre A. Se define la torsión T(M)={ m ∈M: existe r∈A, r ≠0 tal que rm=0} . Es fácil ver que T(M) es un submódulo de M. Si T(M)=0, se dice que el módulo es sin torsión y si T(M)=M se dice que M es de torsión.

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Veamos que T(M/T(M))=0.



En efecto , si r(m+T(M))=0, con r ≠0, luego rm ∈ T(M), luego existe s≠0 con (rs)m=0 y como rs≠0, se deduce que m∈T(M), es decir m+T(M)=0, lo que prueba lo afirmado.

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Si f:M → N es un morfismo de módulos sobre A, entonces f(T(M))⊂T(N),


En efecto, si m ∈T(M), existe r ≠0 con rm=0, luego f(rm)=rf(m)=0, lo que dice que f(m) ∈T(N).

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Si

entonces es exacta


Sólo hay que demostrar que Ker(g|T(M))⊂f(T(M´). En efecto, sea m ∈ Ker(g|T(M)), luego existe m´ ∈M´con f(m´)=m y como existe r ≠0 con rm=0, luego f(rm´)=0, es decir rm´=0 y por lo tanto m´ ∈ T(M´).

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Si k es el cuerpo cociente del dominio A y f:M → k⊗_AM, definido por f(m)=1⊗m, entonce Kerf=T(M).

Recuerdo que si S ⊂ A es un conjunto multiplicativo con 0 ∉ S, y A_S es el anillo localizado, entonces A_S⊗_AM ≅ M_S (r/s ⊗m → m/s). Si consideramos S=A^*= {r ∈ A: r ≠0 }, entonces K= A_S. Por lo tanto k⊗_AM =A_A^*⊗_AM ) ≅ M_A^*. Si f(m)=1⊗m=0, luego m/1=0. Existe un s ∈ A^* con sm=0, Es decir m ∈ T(M). Recíprocamente, si m ∈ T(M), entonces sm=0 para algún s∈ A^*, luego m /1=0 y por el isomorfismo 1⊗m=0. Esto termina la prueba.

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T(M_S)=T(M)_S

Si m/s ∈ T(M_S) existe r≠0, tal que r( m/s)=0, luego existe s ∈S tal que s(rm)=0 y como sr ≠0 se deduce que m ∈ T(M), es decir m/s ∈ T(M)_S. Por otro lado, si m/s ∈ T(M)_S, entonces existe r≠0 con rm=0, luego r(m/s)=0, es decir m/s ∈ T(M_S). Esto termina la prueba.

Terminamos con el siguiente resultado:

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Son equivalentes: (a) M es sin torsión (b) M_P es sin torsión para todo ideal primo P (c) M_P es sin torsión para todo ideal máximal P .

Si vale (a), sabemos que T(M_P)=T(M)_P=0, esto dice que vale (b).

Si vale (b) es claro que vale (c)

Finalmente si vale (c), T(M)_P=0, para todo ideal máximal P de A, luego T(M)=0.

NOTA
Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios de torsión del capítulo 3 del libro de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.