DESIGUALDAD DE HOLDER EN ESPACIOS EUCLIDEOS

En estas notas queremos demostrar la desigualdad de Holder para espacios euclideos. Pero antes enunciaremos un resultado esencial, que servirá de fundamento a toda la demostración.

Lema 1. (Multiplicadores de Lagrange) Sea Ω un abierto en el espacio euclideo Rⁿ y f, g funciones definidas en Ω y a valores reales, además supones que ambas son de clase C¹ (Ω ) (es decir ambas tienen derivadas parciales de orden uno continuas), Dg(c)≠0 donde c∈Ω es un punto de máximo o mínimo relativo de f sujeto a la restricción g(x)=0; entonces existe un valor λ real no nulo, tal que Df(c)=λDg(c).

Vamos a demostrar los siguientes resultados:

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(a) Sean p >1 , q > 1, 1/p+1/q=1. Si f(x,y)=1/px^p +1/qy^q (x,y>0), entonces el mínimo de esta función sujeta a la restricción xy=1 es igual a 1.

Definamos g(x,y)=xy —1. Por el lema anterior si (x,y) es un hipotético punto de mínimo, entonces Df(x,y)=(x^{p —1} , y^{q —1} )=λ(y,x) . Tenemos que resolver el sistema:


x^{p —1} =λy

y^{q —1} =λx

xy=1

Como λ=x^{p —1} /y=y^{q —1} /x, se deduce que x^p =y^q , y al ser x=1/y , luego (1/y)^p =y^q . Es decir 1=y^p+p .

De la igualdad 1/p+1/q=1, se deduce que p+q=pq, por lo tanto 1=y^pq =e^{pq lny} , lo que dice que pq lny=0. Es decir y=1, luego x=1/y=1/1=1. Esto prueba que el mínimo se alcanza en el punto (1,1).

Observe que f(1,1)=1/p+1/q=1 es el valor mínimo de la función.

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(b) Veamos que vale la desigualdad ab≤(1/p)a^p +(1/q)b^q (a, b >0)

En efecto, si x,y >0, entonces (x/y)(y/x)=1 y por lo probado en la parte (a), vimos que

f( x/y,y/x)=f(x,y)=1/p(x/y)^p +1/q(y/x)^q ≥1

1/px^p+q +1/qy^p+q ≥y^p x^q

1/px^pq +1/qy^pq ≥y^p x^q (p+q=pq)

Sustituyendo en a expresión anterior x=a^1/q , y=b^1/q , se deduce el resultado

ab≤(1/p)a^p +(1/q)b^q (a, b >0)


(c) (Desigualdad de Holder)

∑_i=1 ⁿ a_i b_i ≤(∑_i=1 ⁿ a_i ^p)^1/p (∑_i=1 ⁿ b_i ^q)^1/q (a_i , b_i ≥0)


Sean A=(∑_i=1 ⁿ a_i ^p)^1/p , B=(∑_i=1 ⁿ b_i ^q)^1/q y a=a_i /A y b=b_i /B. Aplicando la parte (b):


(a_i /A)( b_i /B)≤1/p(a_i /A)^p+1/q(b_i /B)^q

Luego, tomando sumatoria


∑_i=1 ⁿ (a_i /A)( b_i /B)≤∑_i=1 ⁿ 1/p(a_i ^p/A^p)+∑_i=1 ⁿ 1/q(b_i ^q/B^q)=


∑_i=1 ⁿ 1/p(a_i ^p/(∑_i=1 ⁿ a_i ^p))+∑_i=1 ⁿ 1/q(b_i ^q/(∑_i=1 ⁿ b_i ^q))≤1/p+1/q=1

Es decir

∑_i=1 ⁿ a_i b_i /AB≤1

Despejando

∑_i=1 ⁿ a_i b_i ≤AB=(∑_i=1 ⁿ a_i ^p)^1/p (∑_i=1 ⁿ b_i ^q)^1/q

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(d) (Desigualdad de Minkowski)

(∑_i=1 ⁿ |a_i +b_i |^p)^1/p ≤(∑_i=1 ⁿ |a_i |^p)^1/p+(∑_i=1 ⁿ |b_i |^p)^1/p


Como 1/p+1/q=1, se deduce que 1+p/q=p, luego


|a_i +b_i |^p= |a_i +b_i | |a_i +b_i |^p/q≤|a_i ||a_i +b_i |^p/q+|b_i ||a_i +b_i |^p/q

Tomando sumatoria


∑_i=1 ⁿ |a_i +b_i |^p ≤∑_i=1 ⁿ |a_i ||a_i +b_i |^p/q+∑_i=1 ⁿ |b_i ||a_i +b_i |^p/q≤


(∑_i=1 ⁿ |a_i |^p)^1/p(∑_i=1 ⁿ (|a_i +b_i |^p/q)^q)^1/q+(∑_i=1 ⁿ |b_i |^p)^1/p(∑_i=1 ⁿ (|a_i +b_i |^p/q)^q)^1/q

Despejando


(∑_i=1 ⁿ |a_i +b_i |^p)/(∑_i=1 ⁿ |a_i +b_i |^p)^1/q)=(∑_i=1 ⁿ |a_i +b_i |^p)^1/p≤(∑_i=1 ⁿ |a_i |^p)^1/p+(∑_i=1 ⁿ |b_i |^p)^1/p


NOTA Es importante referir que este trabajo es la resolución del ejercicio 42Z de la sección 42 del libro Introducción al Análisis Matemático de Robert G. Bartle. Editorial Limusa. 1992.