Mathématiques #6 : Qu'est-ce que la surjectivité ?

 Nous avons vu dans le dernier post ce qu'était l'injectivité. Ici, nous allons nous intéresser cette fois à la notion de surjectivité.   

La surjectivité est souvent confondue avec l'injectivité et de manière générale, la nuance, dite avec des mots, est assez subtile. 

Soit f une application de E dans F (comprendre qu'on aura souvent E = F)
Alors f est surjective, si pour tout y dans F, il existe au moins un x dans E tel que f(x) = y
Dis de manière résumée, avec des mots, chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit avoir au moins un antécédent. Le fait qu'il y ait, éventuellement, plusieurs antécédents, ne dérange donc pas. 

Une erreur classique, lors de la considération d'une fonction à ce niveau, est de ne pas définir E et F. Une fonction peut parfaitement être surjective de R dans R+ mais pas de R dans R. 

Reprenons notre fonction du post précédent f(x) = 2x – 3 de R dans R 

Est-elle surjective ? 

Notre fonction est continue dans R, sous la forme d'une droite. Intuitivement, la fonction est ici surjective. Montrons-le :
Soit f(x) = y = 2x – 3
Pour tous y dans R, nous avons x = (y + 3)/2 , correctement défini dans R
Ainsi, pour tous y dans R, nous pouvons trouver un x dans R tel que f(x) = y , ce qui termine la preuve. 

Prenons maintenant la fonction carrée de R dans R+ 

Pour tous y dans R+, nous avons x = racine carrée de y, correctement défini. Ainsi la fonction carrée est surjective de R dans R+. 

Qu'en est-il de cette même fonction de R dans R ? (vous allez voir ici l'importance de bien définir les ensembles de départ et d'arrivée)
Eh bien pour tous y dans R, x = racine carrée de y n'est pas correctement défini. En effet, tous les y négatifs n'ont pas de racine carrée dans R. Ainsi notre fonction n'est pas surjective.
On a montré de plus qu'une même fonction peut ou ne pas être surjective suivant le contexte. C'est une chose primordiale à bien comprendre. 

La prochaine fois nous parlerons d'une notion fondamentale en mathématiques qui est la bijectivité (et qui fait largement appel à l'injectivité et à la surjectivité)