Introducción a la Teoría de Conjuntos y su Notación - GMath

Saludos queridos lectores asiduos de mi blog, bienvenidos, en esta oportunidad les traigo un poco más de formalidad matemática, les comentaré sobre una pequeña introducción a la teoría de conjuntos y mostraremos como la denotaremos a la hora de expresarla de manera formal. Este tema además de ser sencillo, es muy práctico e importante de estudiar, para abordar toda la formalidad de la teoría de funciones, y otros aspectos relevantes, tanto en geometría, probabilidades, etc. El mismo forma parte importante en un curso de Matemáticas Básicas o Pre-Universitaria. Espero que puedan comprender el tema que abordamos en está publicación. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin quitarles más tiempo en la lectura previa, empecemos a trabajar un poco.

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Introducción a la teoría de conjuntos y su notación

La noción de conjunto es una idea básica y natural en Matemáticas. La la teoría de conjuntos descrita de manera rigurosa es una tarea mucho más compleja de lo que se intentaremos mostrar aquí. Para comenzar, todos aceptaremos y asumiremos que tenemos una idea más o menos clara de lo que es un conjunto de objetos o de elementos. Por ejemplo, podemos dar algunos conjuntos que nuestra mente puede fácilmente identificar, a saber:

• el conjunto de los números enteros,
• el conjunto de los números pares,
• el conjunto de los puntos de una recta,
• el conjunto de las rectas de un plano
• el conjunto de ...

así comienza a volar nuestra mente y crear conjuntos de todos los objetos que se nos puedan ocurrir, haga el intento y verá todo lo que se puede clasificar como conjunto.

Desde la escuela básica y la escuela secundaria se ha desarrollado este lenguaje y lo utilizaremos sin más definiciones.

Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Para decir que es un elemento del conjunto , escribiremos . Para decir que no está en , escribiremos .

Aceptaremos que existe un conjunto llamado vacío, que no tiene elemento alguno y lo vamos a denotar con el símbolo .

• El conjunto de las rectas del plano que pasan por un punto fijo P, esta contenido en el conjunto de todas las rectas del plano.
• El conjunto de todos los números enteros múltiplos de 4, es un subconjunto del conjunto de los números pares.
• La colección de todos los capítulos de un libro, es un ejemplo de un conjunto.

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Operaciones o Álgebra de conjuntos

Si A y B son dos conjuntos, se pueden crear nuevos conjuntos a partir de ellos mediante operaciones elementales.

• El conjunto intersección: La intersección de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B, se denota por .
  En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos: . Si la intersección de dos conjuntos es vacía, es decir, , se dice que los conjuntos son disjuntos.
  
  
  _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con GIMP.}
• El conjunto Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que están en A ó en B. Se denota por .
  En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos:
  
  
  _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con GIMP.}
• El conjunto Diferencia: La diferencia del conjunto A menos el conjunto B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no están en B. Se denota por .
  En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos:
  
  
  _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con GIMP.}
• El conjunto universal o universo: Como conjunto universal vamos a denotar a un conjunto E especial, el cual contiene todos los elementos que se desean considerar en el problema, o tema, sin pretender contener todo lo que no es de interés al problema del cual estemos hablando. Este conjunto universal se supone conocido en cada problema y del cual se pueden seleccionar elementos para construir subconjuntos.
• El conjunto Complemento: Digamos que tenemos un conjunto universal E. Cualquier conjunto A que se considere será un subconjunto de E, es decir, formalmente se representa por . Así, la diferencia se llamará el complemento de A y se denotará por .
  En otras palabras, escrito de manera formal, tenemos:
  
  
  _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con GIMP.}

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Propiedades de las operaciones con conjuntos

Las operaciones con conjuntos, gozan de algunas propiedades de fácil comprobación las cuales vamos a enunciar, a saber:

1. La unión y la intersección son conmutativas
   
   
   _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con y GIMP.}
2. La unión y la intersección son asociativas
   
   
   _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con y GIMP.}
3. La unión es distributiva con respecto a la intersección
   
   
   _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con y GIMP.}
4. La intersección es distributiva con respecto a la unión
   
   
   _{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con y GIMP.}

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado leyendo y estudiando esta publicación, los espero en una próxima entrega donde seguiré tratando algunos temas de matemáticas, para así, además de compartir con ustedes mi experiencia, pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco mas del maravilloso mundo de las matemáticas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Devlin, Keith. Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics. CRC Press, 2003.
• Lipschutz, Seymour. Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. 1991.

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También los invito a leer mis otras publicaciones que puedan ser de su interés:

• El triángulo de Pascal y los productos notables.
• Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones lineales de 1er orden con una incógnita.
• Resolución de una ecuación de 2do grado con una incógnita.
• Otras consideraciones de la ecuación de 2do grado con una incógnita.
• Resolución de inecuaciones de 2do grado con una incógnita en el conjunto de los números reales.
• Sistema de dos ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas

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Todas las imágenes son propias, creadas y editadas con software libre: , Karbon, Inkscape y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}