1-4 표준화(Normalization)된 Iris 데이터 Adaline 적용에 따른 개선

정규분포 통계에서 표준화하면 다들 들어본 기억이 있으실 것이다. 위 그림을 참고하면 좌표상의 1사분면에 위치한 데이터가 표준화에 의해 원점을 중심으로 하여 1,2,3,4 분면에 위치하게 되며 아울러 decision boundary 의 기울기도 변화되었음을 알 수 있다.

Iris flowers data set을 읽어 들인 입력 벡터 X를 카피한 X_std에 대해서 정규분포에서 처럼 표준화 공식을 적용 후 다시 X_std 로 두자.
.mean() 은 평균 값을 구한다는 뜻이며 .std() 는 표준편차를 구한다는 뜻이다.

X_std = np.copy(X)
X_std[:, 0] = (X[:, 0] - X[:, 0].mean()) / X[:, 0].std()
X_std[:, 1] = (X[:, 1] - X[:, 1].mean()) / X[:, 1].std()

이 데이터로 Adaline 알고리듬 코드를 적용하자. 데이터가 표준화도면 원점 (0, 0) 을 중심으로 하여 데이터가 분포하게 된다.

다음과 같이 learning rate=0.01 과 학습횟수 n_iter=15으로 두어 class Adaline()을 호출하고 표준화된 데이터 X_std로 ada.fit(X_std, y) 루틴에 의해 학습을 시키고 decision boundary를 작도해 보자.

ada = AdalineGD(n_iter=15, eta=0.01)
ada.fit(X_std, y)
plot_decision_regions(X_std, y, classifier=ada)

계산 결과를 보면 데이터 가로축과 세로축 상의 작도 위치가 표준화로 인해 변경되었음을 알 수 있다. 아울러 cost 함수의 에러값은 0.0에 빠르게 접근함을 볼 수 있다.

#ch02_Adaline_1_2.py
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap

#Implementing an adaptive linear neuron in Python

class AdalineGD(object):
"""ADAptive LInear NEuron classifier.

Parameters
------------
eta : float
  Learning rate (between 0.0 and 1.0)
n_iter : int
  Passes over the training dataset.
random_state : int
  Random number generator seed for random weight
  initialization.


Attributes
-----------
w_ : 1d-array
  Weights after fitting.
cost_ : list
  Sum-of-squares cost function value in each epoch.

"""
def __init__(self, eta=0.01, n_iter=50, random_state=1):
    self.eta = eta
    self.n_iter = n_iter
    self.random_state = random_state

def fit(self, X, y):
    """ Fit training data.

    Parameters
    ----------
    X : {array-like}, shape = [n_samples, n_features]
      Training vectors, where n_samples is the number of samples and
      n_features is the number of features.
    y : array-like, shape = [n_samples]
      Target values.

    Returns
    -------
    self : object

    """
    rgen = np.random.RandomState(self.random_state)
    self.w_ = rgen.normal(loc=0.0, scale=0.01, size=1 + X.shape[1])
    self.cost_ = []

    for i in range(self.n_iter):
        net_input = self.net_input(X)
        #Please note that the "activation" method has no effect
        #in the code since it is simply an identity function. We
        #could write `output = self.net_input(X)` directly instead.
        #The purpose of the activation is more conceptual, i.e.,  
        #in the case of logistic regression (as we will see later), 
        #we could change it to
        #a sigmoid function to implement a logistic regression classifier.
        output = self.activation(net_input)
        errors = (y - output)
        self.w_[1:] += self.eta * X.T.dot(errors)
        self.w_[0] += self.eta * errors.sum()
        cost = (errors**2).sum() / 2.0
        self.cost_.append(cost)
    return self

def net_input(self, X):
    """Calculate net input"""
    return np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]

def activation(self, X):
    """Compute linear activation"""
    return X

def predict(self, X):
    """Return class label after unit step"""
    return np.where(self.activation(self.net_input(X)) >= 0.0, 1, -1)

#A function for plotting decision regions
def plot_decision_regions(X, y, classifier, resolution=0.01):

#setup marker generator and color map
markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])

#plot the decision surface
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution),
                       np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
Z = Z.reshape(xx1.shape )
plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.3, cmap=cmap)
plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())

#plot class samples
for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
    plt.scatter(x=X[y == cl, 0], 
                y=X[y == cl, 1],
                alpha=0.8, 
                c=colors[idx],
                marker=markers[idx], 
                label=cl, 
                edgecolor='black')

fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(10, 4))

ada1 = AdalineGD(n_iter=10, eta=0.01).fit(X, y)
ax[0].plot(range(1, len(ada1.cost_) + 1), np.log10(ada1.cost_), marker='o')
ax[0].set_xlabel('Epochs')
ax[0].set_ylabel('log(Sum-squared-error)')
ax[0].set_title('Adaline - Learning rate 0.01')

ada2 = AdalineGD(n_iter=10, eta=0.0001).fit(X, y)
ax[1].plot(range(1, len(ada2.cost_) + 1), ada2.cost_, marker='o')
ax[1].set_xlabel('Epochs')
ax[1].set_ylabel('Sum-squared-error')
ax[1].set_title('Adaline - Learning rate 0.0001')

#plt.savefig('images/02_11.png', dpi=300)
plt.show()

#Improving gradient descent through feature scaling

#standardize features
X_std = np.copy(X)
X_std[:, 0] = (X[:, 0] - X[:, 0].mean()) / X[:, 0].std()
X_std[:, 1] = (X[:, 1] - X[:, 1].mean()) / X[:, 1].std()

ada = AdalineGD(n_iter=15, eta=0.01)
ada.fit(X_std, y)

plot_decision_regions(X_std, y, classifier=ada)
plt.title('Adaline - Gradient Descent')
plt.xlabel('sepal length [standardized]')
plt.ylabel('petal length [standardized]')
plt.legend(loc='upper left')
plt.tight_layout()
#plt.savefig('images/02_14_1.png', dpi=300)
plt.show()

plt.plot(range(1, len(ada.cost_) + 1), ada.cost_, marker='o')
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Sum-squared-error')

plt.tight_layout()
#plt.savefig('images/02_14_2.png', dpi=300)
plt.show()